L'énoncé
On donne : \(D = \sqrt{3} – 1\) et \(E = \sqrt{3} + 1\)
Question 1
Développer \(D^2\) et donner les résultats sous la forme \(a + b\sqrt{c}\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres entiers.
\(D^2 = (\sqrt{3}\ -1)^2\)
\(D^2 = \sqrt{3}^2 - 2 \times \sqrt{3} \times 1 +(-1)^2\)
\(D^2 = 3 - 2\sqrt{3}+1\)
\(D^2 = 4 - 2\sqrt{3}\)
Pensez à \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Question 2
Développer \(E^2\) et donner les résultats sous la forme \(a + b\sqrt{c}\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des nombres entiers.
\(E^2 = (\sqrt{3}\ + 1)^2\)
\(E^2 = \sqrt{3}^2 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 +1^2\)
\(E^2 = 3 +2\sqrt{3}+1\)
\(E^2 = 4 + 2\sqrt{3}\)
Pensez à \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Question 3
Démontrer que \(D \times E\) est un nombre entier.
\(D \times E = (\sqrt{3}\ -1) \times (\sqrt{3}\ + 1)\)
\(D \times E = \sqrt{3}^2\ - 1^2\)
\(D \times E = 3 -1\)
\(D \times E = 2\)
\( (a + b)(a – b) = a^2 - b^2\)
Question 4
\(KLM\) est un triangle rectangle en \(L\).
Calculer la valeur exacte de la longueur \(KM\).
Le triangle \(KLM\) est rectangle en \(L\),
D'après le théorème de Pythagore,
\(KM^2 = KL^2 + LM^2\)
\(KM^2 = (\sqrt{3}\ -1)^2 + (\sqrt{3}\ + 1)^2\)
Or ces deux nombres ont été calculés dans le 1) a), donc,
\(KM^2 = 4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}\)
\(KM^2 = 8\)
Par conséquent \(KM = \sqrt{8}\) ou \(KM = -\sqrt{8}\)
Or \(KM\) est une longueur, c'est donc un nombre positif.
Par conséquent : \(KM = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
Et bien sûr, ne refaites pas les calculs que vous avez déjà effectués dans le 1).
Question 5
Calculer l'aire du triangle \(KLM\).
La formule de l'aire du triangle est : \( \dfrac{(Base \times hauteur)}{2}\)
Mais ici, on a affaire à un triangle rectangle, il suffit de prendre comme « base » et comme « hauteur » les deux côtés de l'angle droit. Ce qui nous donne ici :
Aire = \( \dfrac{(Base \times hauteur)}{2}\) = \(\dfrac{KL \times LM}{2}= \dfrac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{2}\)
Or ce dénominateur a été calculé dans le 1) b), donc :
Aire = \(\dfrac{2}{2} = 1\)
Et dans un triangle rectangle, il suffit de prendre comme « base » et comme « hauteur » les deux côtés de l’angle droit !
Et bien sûr ne refaites pas les calculs que vous avez déjà effectués dans le 1).