L'énoncé
Voici un exercice d'application des PGCD. On s'en sert dans la vraie vie, en dépit de tout ce que vous aviez pu imaginer.
La preuve :
Question 1
288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? Expliquer pourquoi.
288 et 224 sont des nombres pairs. Donc 2 est diviseur commun de 288 et 224, or deux nombres premiers entre eux ont un seul diviseur commun : 1.
Par conséquent, 288 et 224 ne sont pas premiers entre eux.
Le chiffre des unités de 228 est 8, celui de 224 est 4.
Par conséquent 288 et 224 sont deux nombres pairs.
Question 2
Déterminer le PGCD de 288 et 224
Pour trouver le PGCD de 288 et 224, vous pouvez établir la liste complète des diviseurs de chacun de ces deux nombres, mais c'est assez laborieux !
Ou vous pouvez utiliser une de deux méthodes suivantes :
Algorithme des différences :
\(288 -224 = 64\)
\(224 -64 = 160\)
\(160 - 64 = 96\)
\(96 -64 = 32\)
\(64 -32 = 32\)
\(32 -32 = 0\)
Le PGCD de 288 et de 224 est donc 32 (dernière différence non nulle).
Algorithme dEuclide :
\(288 = 1 \times 224 + 64\)
\(224 = 3 \times 64 + 32\)
\(64 = 2 \times 32 + 0\)
Le PGCD de 288 et de 224 est donc 32 (dernier reste non nul).
Par exemple, l’algorithme des différences ? Ou bien encore l’algorithme d’Euclide ?
Question 3
Le PGCD de 288 et de 224 est donc 32.
Ecrire la fraction \(\dfrac{224}{288}\) sous forme irréductible.
Lorsque lon simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur, on obtient une fraction irréductible.
Donc : \(\dfrac{224}{288}=\dfrac{32 \times 7}{32 \times 9}= \dfrac{7}{9}\)
Vous devez savoir que lorsque vous avez une fraction, le PGCD du numérateur et du dénominateur est très utile pour rendre cette fraction irréductible.
Question 4
Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses oeuvres sur des panneaux contenant chacun le même nombre de photos de paysages et le même nombre de portraits.
Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
Le PGCD de 288 et de 224 est égal à 32
Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?
Désignons par \(N\), le nombre de panneaux de son exposition.
Les photos de chaque type seront partagées sur les \(N\) panneaux, or comme le photographe veut utiliser toutes les photos, cela signifie que \(N\) est un diviseur de 288
et de 224 !
\(N\) est un diviseur commun à 288 et 224. Et puisqu'on désire connaître le nombre maximum de panneaux, il nous faut le plus grand diviseur commun à 288 et 224.
Or celui-ci a été calculé dans la question 2), le PGCD de 288 et 224 est égal à 32. Donc \(N = 32\).
Le photographe peut donc réaliser au maximum 32 panneaux.
Les photos de chaque type seront partagées sur les \(N\) panneaux, or comme le photographe veut utiliser toutes les photos, cela signifie que \(N\) est un diviseur de 288 et de 224 !
Et puisqu’on désire connaître le nombre maximum de panneaux, il nous faut le plus grand diviseur commun à 288 et 224.
Question 5
Il dispose de 224 photos de paysage et de 288 portraits.
Le PGCD de 288 et de 224 est égal à 32.
Combien chaque panneau contient-il de paysage et de portraits ?
On sait maintenant qu'il y a 32 panneaux.
Calculons le nombre de photos par panneau :
\(288 : 32 = 9\) et \(224 : 32 = 7\)
Il y aura 9 portraits et 7 photos de paysage par panneau.
Le photographe va donc partager ses photos en 32 panneaux.
\(288 : 32 = 9\) et \(224 : 32 = 7\)