Équations trigonométriques

Equations trigonométriques

Egalité de cosinus ou de sinus

Conditions d'égalité de deux cosinus :

$ \cos(x)=\cos(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi \text{ avec } k\in \mathbb{Z}$

Conditions d'égalité de deux sinus :

$\sin(x)=\sin(a) \Leftrightarrow x=a+2k\pi \text{ ou } x=(\pi-a)+2k\pi \text{ avec } k\in\mathbb{Z}$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$

On a $\dfrac{\sqrt2}{2}=\sin\left( \dfrac{\pi}{4}\right)$ d'après le cours, donc :

$\sin(3x)=\dfrac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 3x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$     ou    $3x=\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+2k\pi = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi $

C'est à dire :

$x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}{3}$   ou   $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2k\pi}{3}$ avec $k\in\mathbb{Z}$