Fiche de cours
Intégration par parties
L'intégration par parties permet de calculer une intégrale dont on ne connait pas de primitive.
Théorème :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a; b]$,
$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$
Démonstration :
La démonstration utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions.
En effet, on sait que $(u\times v)' = u'v + uv'$.
Ainsi, $u'v = (u\times v)' - uv'$.
On intègre alors l'égalité entre $a$ et $b$ :
$\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b \big( (uv)'- uv' \big)\, \text{d}t$.
Par linéarité de l'intégrale, on peut écrire que $ \displaystyle \int_a^b \big( (uv)'- uv' \big)\, \text{d}t = \displaystyle \int_a^b (uv)' \, \text{d}t - \displaystyle \int_a^b uv'\, \text{d}t$.
Or, la primitive d'une fonction $f'$ est la fonction $f$, ainsi $\displaystyle \int_a^b (uv)' \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b$.
Finalement, $\displaystyle \int_a^b u'v \, \text{d}t = \big [uv \big ]_a^b - \displaystyle \int_a^b uv' \, \text{d}t$.
Exemple :
Calculer $\displaystyle \int_0^1 te^t \, \text{d}t$.
L'étape la plus difficile d