Propriétés de l'intégrale

Propriétés de l'intégrale

Linéarité de l'intégrale

Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) (\(\lambda\) est une constante), \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([a,b]\), on a :

\(\displaystyle\int_{a}^b \lambda f(x) + g(x)dx =\lambda \int_{a}^b f(x)dx+\int_{a}^b g(x)dx\)

Positivité de l'intégrale

Si \(f(x)\ge 0\) sur $[a;b]$ alors \(\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx\ge 0\).

Croissance de l'intégrale

Si \(f(x)\le g(x)\) sur $[a;b]$ alors \(\displaystyle\int_{a}^b f(x)dx\le \int_{a}^b g (x)dx\).

Exemple

Écrire sous la forme d'une seule intégrale $J$=\(\displaystyle\int_{1}^e e^{4x} dx+ \int_{1}^e dx-2\int_{1}^e e^{2x}dx\).

On utilise la linéarité de l'intégrale pour regrouper les différents termes.

$J=\displaystyle\int_{1}^e (e^{4x} -2 e^{2x}+1)dx)$

$J=\displaystyle\int_{1}^e (e^{2x} -1)^2 dx)$