L'énoncé
Question 1
\(\cos(\frac{99 \pi}{8} ) = \cos (\frac{83 \pi}{8} )\)
La proposition est VRAIE.
On a : \(\frac{99 \pi}{8} = \frac{83 \pi + 16 \pi}{8} = \frac{83 \pi}{8} + 2 \pi\)
Rappelons alors que : \(\cos(x+2 \pi) = \cos(x)\)
Donc on a bien : \(\cos(\frac{99 \pi}{8} ) = \cos (\frac{83 \pi}{8} )\)
Quelle est la relation entre \(\cos(x+2\pi)\) et \(\cos(x)\) ? Ce point est fondamental, si tu as des doutes, revois les séquences de cours…
Question 2
On a pour tout \(x\) réel :\(\cos(-x) = - \cos(x)\)
C'est faux bien sûr !
Pour s'en convaincre, placez sur le cercle \(x\) et \(-x\) :
On constate qu'ils ont le même cosinus : soit \(\cos(-x) = \cos(x)\)
Pour justifier, on peut donner un contre-exemple, montrant que l'égalité proposée est fausse :
\(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) et \(\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)
Vous pouvez aussi aller chercher dans un formulaire.
Question 3
\(A = \sin(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{3\pi}{8}) + \sin(\frac{5\pi}{8}) - \sin(\frac{7\pi}{8}) = 0\)
La proposition est VRAIE.
On remarque que :
\(\frac{7\pi}{8} = \frac{8\pi - \pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}\) donc on a :
\(\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})\)
De même, on sait que :
\(\frac{5\pi}{8}= \frac{8\pi-3\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}\) donc on a :
\(\sin(\frac{5\pi}{8})=\sin(\frac{3\pi}{8})\)
Finalement :
\(A= \sin(\frac{\pi}{8}) - \sin(\frac{3\pi}{8}) + \sin(\frac{3\pi}{8}) - \sin(\frac{\pi}{8})\)
\(A =0\)
Essaye de voir ce que ça donne ici !
Il faut avoir repéré que \(\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{8\pi - \pi}{8}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}). \)
Fais un raisonnement similaire pour établir un lien entre \(\sin(\frac{5\pi}{8}) \ \) et \(\sin(\frac{3\pi}{8}).\)
On trouve que \(\sin(\frac{5\pi}{8})=\sin(\frac{3\pi}{8}). \ \) Il suffit ensuite de remplacer !
Question 4
\(A(x) = \cos (\pi + x) + 2 \cos (-2 \pi + x) + 3 \cos (3 \pi +x)=0\)
La proposition est FAUSSE.
On utilise le fait que :
\(\cos(x+\pi) = -\cos(x)\) Les points du cercle trigonométrique correspondants à \(x\) et à \(x-2\pi\) sont confondus.
On a donc : \(\cos(x-2\pi) = \cos(x)\)
De même,
\(\cos(3\pi+x)=\cos(x+\pi+2\pi) = \cos(x+\pi)=-\cos(x)\)
En remplaçant, on a :
\(A(x)= -\cos(x)+2\cos(x)+3(-\cos(x))\)
Soit : \(A(x)=-2\cos(x)\)
La réponse proposée est bien fausse, la bonne réponse est :
\(\cos (\pi + x) + 2 \cos (-2 \pi + x) + 3 \cos (3 \pi +x)=-2\cos(x)\)
Utilise ton cours ou des lectures sur le cercle trigonométrique.
Question 5
On a pour tout \(x\) réel, \(\sin(2x) = 2\sin(x)\)
La proposition est FAUSSE.
On prend \(x=\frac{\pi}{4}\) par exemple.
Alors on a :
\(\sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2})=1 \)
et \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Donc, \(2\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\)
Finalement :
\(\sin(2 \times \frac{\pi}{4}) \neq 2\sin(\frac{\pi}{4})\)
L'égalité correcte serait \(\sin(2x) = 2\sin(x) cos(x)\)
Remplace \(x\) par \(\frac{\pi}{4}\) pour voir ce que ça donne…
Question 6
L'équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2} \ \) possède comme solutions les réels :
\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \ \) et \(x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi\) , avec \(k\) un entier relatif.
La proposition est FAUSSE :
\(\sin(X) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} X = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ X = \pi- \frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right. \)
Donc :
\(\sin(2x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ 2x = \pi- \frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{2} \\ x = \frac{\frac{5\pi}{6}+2k\pi}{2} \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{\pi}{12}+k\pi \\ x = \frac{5\pi}{12}+k\pi \end{array}\right. \)
Les solutions de l'équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2} \ \) sont les réels de la forme:
\(x = \frac{\pi}{12}+k\pi \ \) et \(x = \frac{5\pi}{12}+k\pi\) , avec \(k\) entier relatif.
\(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) : la proposition est fausse. Il faut maintenant la corriger, et donc résoudre l’équation \(\sin(2x) = \frac{1}{2}\) : c’est une forme classique d’équation trigonométrique ! On commence par trouver les réels dont le sinus vaut \(\frac{1}{2}\) : à vous de jouer !
Ne pas se tromper : c’est bien \(2x\) qui doit vérifier que \(2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). Ensuite, il faut en déduire les valeurs possibles pour \(x\) !
Pour trouver les valeurs de \(x\), on divise par 2 (et c’est la totalité du membre de droite qui est divisée par 2, même le \(2k\pi\)).