Exercice - Étude d'une fonction trigonométrique - bac

On a :
\(f(t+\pi) = \sin^2(t+\pi)\)

\(f(t+\pi)=(\sin(t+\pi))^2\)

\(f(t+\pi)=(-\sin(t))^2\)

\(f(t+\pi)=\sin^2(t)\)

\(f(t+\pi)=f(t)\)

Donc \(f\) est bien périodique de période \(\pi\).

De plus lorsque l'on a une fonction périodique de période T, on peut restreindre l'étude de cette fonction à n'importe quel intervalle de longueur T : ici, on fait donc l'étude sur un intervalle de longueur \(\pi\) : l'intervalle proposé convient puisqu'il s'agit de \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) (et qu'il est bien de longueur \(\pi\)).

\(f\)est définie sur \(\mathbb{R}\). Cherchons une relation entre \(f(t)\) et \(f(-t)\).
\(f(-t) = \sin^2(-t) = (\sin(-t))^2 = \sin^2(t)=f(t)\)

On en déduit que \(f\) est paire et que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la courbe représentative de \(f\).

La fonction \(f\) est paire donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la courbe de \(f\).

On peut donc limiter l'étude de \(f\) aux réels \(t\) positifs. Mais comme on faisait déjà juste l'étude sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) on peut ici se limiter à : \(I =\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)

On pose : \(u(t) = \sin(t)\)
La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
On a : \(u'(t) = \cos(t)\)
Comme \((u^2)' = 2 \times u' \times u\)
C'est la formule \((u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}\) où \(n=2\)
\(f'(t) = 2\cos(t) \times \sin(t)\)

On sait que : \(f'(t) = 2 \cos(t) \times \sin(t)\)

On cherche la ou les valeurs où la dérivée s'annule :
On a \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \sin(t)=0\) ou \(\cos(t)=0\)

Sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\),

\(\sin(t)\) s'annule uniquement pour \(t = 0\),

\(\cos(t)\) s'annule uniquement pour \(t = \dfrac{\pi}{2}\).

On cherche le signe de la dérivée : Le signe de \(f'(t)\) dépend uniquement du signe sur l'intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) de \(\cos(t)\) et de celui de \(\sin(t)\).
On lit les signes sur le cercle trigonométriques : entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2}\), on voit que \(\cos(t)\) et \(\sin(t)\) sont tous les deux positifs. Leur produit l'est aussi.
On peut résumer tout cela dans le tableau de signes :

D'après les résultats précédents, \(f\) est croissante sur\(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
On a aussi :

\(f(0) = \sin^2(0) = 0\)

\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin^2(\frac{\pi}{2})=1\)

On a finalement le tableau de variations suivant :

Maintenant que l'on a la courbe sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on obtient d'abord la courbe sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) en utilisant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées :


Enfin, on obtient toute la courbe en utilisant la périodicité : il suffît de reprendre le motif obtenu, et de la translater vers la droite et vers la gauche de \(k\pi\) unités (puisque c'est la période).

On sait que l'on a pour tout réel $t$ :  : \(\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\) (Et oui, en voilà une qui sert souvent !)

Soit :  \(\cos^2(t)=1-\sin^2(t)\)

Donc comme \(\cos(2t) = \cos^2(t)-\sin^2(t)\)

On en déduit que : \(\cos(2t)=(1-\sin^2(t))-\sin^2(t)\)

\(\cos(2t)=1-2\sin^2(t)\)

Comme on a \(\cos(2t) = 1 - 2\sin^2(t)\), on en déduit :

\(2\sin^2(t)=1-\cos(2t)\)

\(\sin^2(t) = \dfrac{1-\cos(2t)}{2}\)

\(I= \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t)dt = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^2(t)dt\)

\(I= \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{1-\cos(2t)}{2}dt\)

\(I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}dt-\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{\cos(2t)}{2}dt\)

\(I=\left[\dfrac{t}{2}\right]^{t=\pi}_{t=0} - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(2t)dt\)

\(I=\dfrac{\pi}{2}-0- \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin(2t)}{2}\right]^\pi_0\)

\(I=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\sin(2\pi)}{2}-\dfrac{\sin(0)}{2}\right)\)

\(I=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}(0-0)\)

\(I=\dfrac{\pi}{2}\)

L'aire demandée est égale à $I$ en unité d'aire.
Donc : \(A = \dfrac{\pi}{2}u.a\)