Fiche de cours
Calculs de limites de fonctions trigonométriques
Limites au voisinage de l'infini
Les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$.
Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :
$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\cos(x)}{x^n}=0$ avec $n\in \mathbb{N}^\star$
$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \dfrac{\sin(x)}{x^n}=0$ avec $n\in\mathbb{N}^\star$
Ces résultats s'obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes
Limite en $0$
En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :
${\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1}$
Preuve :
$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0} =\sin'(0) = \cos(0) = 1$
Exemple
Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\sin(4x)}{x}$.
Il s'agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $\dfrac00$.
Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times \dfrac{\s