L'énoncé
VRAI ou FAUX. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.
L’espace est muni d’un repère orthonormal \((O ; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k} )\)
Question 1
La droite $D$ de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = t+2\\ y = -2t\\ z = 3t-1\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\) est parallèle au plan \(P\) dont une équation cartésienne est : \(x + 2 y + z -3 = 0\).
Un vecteur directeur de la droite \(D\) de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = t+2\\ y = -2t\\ z = 3t-1\\ \end{array}\right. \) est :
\(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \((1 ; -2 ; 3)\).
Un vecteur normal au plan \(P\) est \(\overrightarrow{u}\)de coordonnées \((1 ; 2 ; 1)\).
On calcule : \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 1 \times 1 + ( -2) \times 2 + 3 \times 1 = 0\)
Donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont orthogonaux.
La droite \(D\) de représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = t+2\\ y = -2t\\ z = 3t-1\\ \end{array}\right. t \in \mathbb{R}\) est parallèle ou contenue dans le plan \(P\) .
Fixons une valeur du paramètre : $t=0$, on obtient ainsi un point de la droite : $K(2;0;-1)$. Ce point appartient-il au plan ?
$2+2\times 0 +(-1) -3 =-2 \neq 0)$.
Ainsi, $:K\notin P$ et la droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$.
Il était possible aussi de chercher le(s) point(s) d'intersection de \(D\) et de \(P\) et chercher \(t\) tel que \((t + 2) + 2 ( -2 t) + (3 t -1) = 0\)
Ceci est équivalent à \(0t+1 = 0\) ce qui est impossible donc \(D\) et \(P\) n'ont pas de point commun, \(D\) est strictement parallèle à \(P.\)
VRAI
Cherchez un vecteur directeur de la droite.
Cherchez un vecteur normal au plan \(P\).
Calculez le produit scalaire de ces deux vecteurs et concluez.
Question 2
Les plans \(P\), \(P'\), \(P"\) d'équations respectives :
\(x - 2 y + 3 z = 3\),
\(2 x + 3 y - 2 z = 6\) et
\(4 x - y + 4 z =12\) n'ont pas de point commun.
Pour chercher les points $M(x;y;z)$ de l'espace communs à ces trois plans il faut résoudre le système :
\(\left\{ \begin{array}{left} x -2y+3z=3\\ 2x+3y-2z=6\\ 4x-y+4z=12\\ \end{array}\right. \)
On remplace la deuxième ligne par la somme des trois lignes. ($L_1+L_2+L_3\longrightarrow L_2$)
On remplace la troisième ligne par la différence entre le double de la troisième et la première. ($3L_3-L_1\longrightarrow L_3$)
On obtient :
\(\left\{ \begin{array}{right} x -2y+3z=3\\ 7x+5z=21\\ 7x+5z=21\\ \end{array}\right. \) soit, puisque deux lignes sont identiques :
\(\left\{ \begin{array}{right} x -2y+3z=3\\ 7x+5z=21\\ \end{array}\right. \).
L'intersection de deux plans est une droite, un plan ou l'ensemble vide mais jamais un seul point.
La proposition est donc fausse.
FAUX.
Résolvez un système de trois équations à trois inconnues.
Pour qu’il n’y ait pas de points communs à ces plans, il faudrait que le système n’ait pas de solutions.
Question 3
Les droites $D$ et $\Delta$ de représentations paramétriques respectives \(\left\{ \begin{array}{left} x = 2-3t\\ y = 1+t\\ z = -3+2t\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\) et \(\left\{ \begin{array}{left} x = 7+2u\\ y = 2+2u\\ z = -6-u\\ \end{array}\right. \) avec \(u \in \mathbb{R}\) sont sécantes.
Pour déterminer l'éventuel point d'intersection des droites citées, il faut chercher des réels \(t\) et \(u\) tels que :
\(\left\{ \begin{array}{left} x = 2-3t=7+2u\\ z = -3+2t=-6-u\\ y = 1+t=2+2u\\ \end{array}\right. \)
Donc résoudre le système :
\(\left\{ \begin{array}{left} 3t+2u=-5\\ 2t+u=-3\\ t-2u=1\\ \end{array}\right. \)
Travaillons dans la deuxième et la troisième ligne :
\(\left\{ \begin{array}{left} 2t+u=-3\\ t-2u=1\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} 5t=-5\\ t-2u=1\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} t=-1\\ u=-1\\ \end{array}\right.\)
Dans ce cas, on vérifie que \(3 t + 2 u = -5\) donc les deux droites sont sécantes et leur point d'intersection est \(A (5 ; 5 ; 0)\)
VRAI
Il faut résoudre un système de six équations à cinq inconnues.
Pour une écriture plus simple, remarquez que cela revient, pour la première ligne à résoudre \(x= 2-3t = 7+2u\) soit \(3t+2u = -5\).
En procédant ainsi pour \(y\) et \(z\), vous obtiendrez un système d’inconnues \(u\) et \(t\).
S’il y a une solution, les droites sont sécantes.
Question 4
On considère les points \(A( 1; 0; 2)\), \(B(1; 4; 0)\), et \(C(3; 4; 2)\).
Le plan \((ABC)\) a pour équation \(x + z = 1\).
\(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((2 ; 4 ; 2)\) et \(\overrightarrow{AC}\) a pour coordonnées \((4 ; 4 ; 4)\).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc le plan \((ABC)\) existe.
Les coordonnées de \(A\), \(B\) et \(C\) vérifient \(x + z = 1\) donc le plan \((ABC)\) a pour équation \(x + z = 1\) donc
VRAI.
Commencez par vérifier que \((ABC)\) est un plan.
Montrez pour cela que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
Remplacez les coordonnées de chaque point dans l’équation du plan et concluez.