On considère les points $A (-6 ;-5)$, $B \left(9; \dfrac{5}{2}\right)$, $C (3 ;4)$, $D\left(\dfrac{19}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$ dans un plan rapporté à une repère orthonormé.
1) Placer les points $A, B, C, D$.
2) Soit $I$ le point tel que $\vec{AI}= \dfrac{4}{5} \vec{AB}$.
a) Justifier que le point $I$ a pour coordonnées $ (6 ;1)$
b) Placer le point $I$.
3) Soit $J$ le point tel
a) Montrer que $\vec{CJ} = \dfrac{1}{9} \vec{AC}$
b) Montrer que le point $J$ a pour coordonnées $(4 ;5)$
c) Placer le point $J$.
4) On considère le cercle ($\Gamma$) de diamètre $[IJ]$ ; on désigne par $K$ son centre et $R$ son rayon.
a) Déterminer les coordonnées du point $K$ et calculer le rayon $R$.
b) Les points $C$ et $D$ sont-ils sur le cercle ?
1) $A (-6 ;-5)$, $B\left(9; \dfrac{5}{2}\right)$, $C (3 ;4)$, $D\left(\dfrac{19}{4} ; \dfrac{3}{4}\right)$.
Soit $I$ le point tel que $\vec{AI}= \dfrac{4}{5} \vec{AB}$.
On a : $\dfrac{4}{5} \vec{AB} (12;6)$
$\vec{AI} (x_I+6;y_I+5)$ donc $x_I+6=12$ et $y_I+5=6$ soit $x_I=6$ et $y_I=1$.
Finalement, $I(6;1)$.
2) Soit $J$ le point tel que $\vec{JA}-10\vec{JC}= \vec{0}$
En utilisant la relation de Chasles :
$\vec{JA}+\vec{CA} -10 \vec{JC}= \vec{0}$
$-9\vec{JC} +\vec{CA} = \vec{0}$
Donc $-9\vec{JC} = \vec{AC} $
Ainsi : $\vec{CJ} = \dfrac{1}{9} \vec{AC} $
Calculons les coordonnées de $J$ :
$\vec{AC} (9 ;9)$ donc $\dfrac{1}{9} \vec{AC} (1 ;1)$
$\vec{CJ} (x_J-3;y_J-4)$ donc $x_J-3=1$ et $y_J-4=1$ donc $x_J=4$ et $y_J=5$.
Finalement, $J(4;5)$.
3) Le centre du centre de diamètre $[IJ]$ est $K\left( \dfrac{x_I+x_J}{2} ; \dfrac{y_I+y_J}{2}\right ) $
Après calculs, on a: $K(5 ;3)$
Le rayon du cercle est $R=KI= \sqrt{(x_I-x_K)^2+(y_I-y_K)^2}= \sqrt{5}$.
$C$ et $D$ sont-ils sur le cercle ? Pour le savoir, on calcule les distances $KC$ et $KD$ avec la formule précédente.
On trouve $KC= \sqrt{5}$ dons $C$ appartient au cercle.
$KD= \sqrt{\dfrac{41}{8}}$ donc $D$ n’appartient pas au cercle.