L'énoncé
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = 1 – x^3\)
Question 1
Calculer l'image de \(2\) et de \(-2\) par \(f\).
\(f(2) = 1 - 2^3 = - 7\). L'image de \(2\) par \(f\) est \(- 7\).
\(f(- 2) = 1 - ( -2)^3 = 1 + 8 = 9\). L'image de \(- 2 \) par \(f\) est \(9\).
L'image de \(2\) est \(f(2)\). Idem pour \(f(-2)\).
Question 2
Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = (1 - x)(x^2 + x + 1)\)
\( \begin{align*}x \in \mathbb{R}, (1 - x)(x^2 + x + 1) &= x^2 + x + 1 - x(x^2 + x + 1) \\ &= x^2 + x + 1 - x^3 - x^2 - x \\ &= 1 - x^3 \\ &= f(x) \end{align*}\)
Conclusion : pour tout réel \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = (1- x)(x^2 + x + 1)\)
Il suffit de développer l'expression proposée et de montrer qu'elle est bien égale à \(f(x)\).
Question 3
Déterminer, s'ils existent, les antécédents de \(1\) par \(f\).
Pour \(x \in \mathbb{R}\), \( f(x) = 1 \Leftrightarrow 1 - x^3 = 1\)
\( \Leftrightarrow x^3 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\)
L'antécédent de \(1\) par \(f \) est \(0 \).
Déterminer un antécédent c'est résoudre une équation.
S'il(s) existe(nt) l(es) antécédent(s) de \(1\) par \( f\) sont la (les) solution(s) de l'équation \(f(x) = 1\).
Pour résoudre ce type d'équation (de degré 3) il faut se ramener à une équation produit nul.
Question 4
En admettant que pour tout réel \(x\) on a : \( x^2 + x + 1 > 0\) déterminer le signe de \( f(x) \) sur \(\mathbb{R}\).
On a le tableau de signes suivant :
Ainsi, :
\(f(x) > 0\) pour \( x < 1\)
\(f(x) < 0\) pour \(x > 1\)
\(f(x) = 0\) pour \(x = 1\)
Dresse un tableau de signes si besoin.
Question 5
Déterminer les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) alors : \(a^3 < b^3 \) car la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Donc, \(-a^3 > -b^3 \) soit \(-b^3 < -a^3\)
Et, \(1 -b^3 < 1 -a^3\) soit \(f(b) < f(a)\)
En conclusion : pour \(a\) et \(b\) réels tels que \(a < b\) on a \(f(a) > f(b) \) et \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Prendre \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) et comparer \(f(a)\) et \(f(b)\).
Question 6
Pour \(x\) appartenant à \([ - 1 ; 3]\) encadrer \(f(x)\).
On a : \( -1 \leq x \leq 3 \)
Comme \(f \) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) elle l'est sur \([ - 1 ; 3 ] \) et donc :
\(f( -1) \geq f(x) \geq f(3 )\) ou encore \(f(3) \leq f(x) \leq f(- 1) \)
Or \(f( - 1) = 1 -( -1)^3 = 1 + 1 = 2 \)
et \( f(3) = 1 - (3)^3 = 1 - 27 = - 26 \)
Ainsi, pour \(x \in[ - 1 ; 3] \) on a \( -26 \leq f(x) \leq 2 \)
Quelles sont les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ? Donc sur \( [ - 1 ; 3] \) ?
On a \(– 1 \leq x \leq 3 \) donc ... ?
Question 7
Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur \([ - 3 ; 3]\).
Veille à choisir une échelle appropriée. Pour ce faire utilise les tables de ta calculatrice afin d'avoir une idée des valeurs sur l'axe des ordonnées.