Fiche de cours
Fonction racine carrée
Définition
La fonction racine carrée est une fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et on la note $\left \{ \begin{array}{ccccc} f & : & \mathbb{R}^+ & \to & \mathbb{R}^+ \\ & & x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array} \right.$
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe donc pas et le résultat est obligatoirement positif ou nul.
Variations
La fonction est strictement croissante et son tableau de variations est le suivant :
La démonstration de la croissance de la fonction racine carrée est exigible.
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tel que $a < b$,
On souhaite montrer que $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.
Pour cela, on étudie le signe de la différence $\sqrt{b} - \sqrt{a}$.
On utilise donc l'expression conjuguée :
$ \begin{align} \sqrt{b} - \sqrt{a} &=& \dfrac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \\ &=& \dfrac{b - a}{\sqrt{a}+\s