L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
La fonction cube :
Est négative sur \(]- \infty;0]\).
Ne s'annule qu'une fois sur \(\mathbb{R}\).
A un minimum sur \(\mathbb{R}\).
Est croissante sur \([3 ; \sqrt20]\).
Visualiser la courbe représentative de la fonction cube.
Quel est son domaine de définition ?
Quelles sont ses variations ?
Combien de fois la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses \((Ox) \) ?
La fonction cube est positive sur \([ 0 ; + \infty[\)et négative sur \(]-\infty ; 0]\)
La fonction cube ne s'annule qu'une fois sur \(\mathbb{R}\) : pour \(x = 0\)
La fonction cube n'a pas de minimum sur \(\mathbb{R}\).
La fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) donc en particulier sur \( [3 ; \sqrt20]\)
Question 2
On considère \(f\) la fonction cube définie sur \(\mathbb{R}\). Donner la ou les propositions correctes :
\( f( - 3) = - 9\)
\( f( - 3) = 9\)
\(-3^3 = 27\)
\((-3)^3 = - 27\)
Si \(a\) est un réel alors \( a^3 \neq a \times 3 …\)
Si \(a < 0\) alors de quel signe est \(a^3\).
\( f( - 3) = (-3)^3 = (-3) \times (-3)\times (-3) = -27\)
Cela est faux si on prend un exposant pair.
\( – 3^3 = -(3^3) = - (3\times3\times3) = - 27\)
Question 3
\( -24\sqrt3 < 0\). Qu'end déduis-tu pour le signe de \(x \) ? Quelles propositions peux-tu alors éliminer ?
Calcule l'image de \(- 2\times \sqrt3\) puis de \(3\sqrt3\) par la fonction cube.
\( \begin{align*}(- 2\sqrt3 )^3 &= (-2)^3\sqrt3^3\\ &= - 8\sqrt3 ^2\sqrt3\\ & = - 24\sqrt3 \end{align*}\)
\(\begin{align*}-(- 3\sqrt2)^3 &= (-3)^3 \times \sqrt2^3 \\ &= - 27\sqrt2^2 \times\sqrt2 \\ &= - 27\times 2\sqrt2 \\ & = - 54\sqrt2 \end{align*}\)
Question 4
La fonction \(f\) définie par \( f(x) = \left( \dfrac{1}{x}- 1\right)^3 \) a pour ensemble de définition :
\(\mathscr{D_f}=\mathbb{R}\)
\(\mathscr{D_f}=[ 1 ; + \infty[\)
\(\mathscr{D_f}=]- \infty;1]\)
\(\mathscr{D_f}=\mathbb{R}\backslash \{0\}\)
A quelle condition l'expression \( \left( \dfrac{1}{x}- 1\right)^3 \) est-elle définie ?
La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\).
Ici \(f(x) = u(x)^3 \) avec \(u(x) = \dfrac{1}{x}- 1\).
\(u\) est une fonction affine définie sur \(\mathbb{R} \backslash \{0\}\) donc \(f\) aussi.
Question 5
L'expression \(A(x) = 2x^3 -8x \) définie sur \(\mathbb{R}\) peut s'écrire :
\(A(x) =2x(x^2 – 8)\)
\(A(x) = 2x(x^2 – 4)\)
\(A(x) = 2x(x – 2)(x + 2)\)
\(A(x) =x(2x^2 – 8)\)
On peut développer chaque expression pour vérifier celle qui donnera \(x^3 – x\).
Factoriser l'expression \(A(x)\).
\((x^2 – 4 )\) est un polynôme du second degré (ou une identité remarquable). Idem pour \((2x^2 – 8 )\).
Soit on factorise par \(x\) :
Pour \(x \in\mathbb{R}, A(x) = 2x^3 – 8x\)
\( \Leftrightarrow A(x) = x(2x^2 – 8) \)
Soit on factorise par \(2x\) :
Pour \(x \in \mathbb{R}, A(x) = 2x^3 – 8x\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 2x(x^2 – 4)\)
\( \Leftrightarrow A(x) = 2x(x – 2)(x + 2) \)
Avec : \((x^2 – 4) = (x^2 – 2^2) \)
donc du type \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\)