Cours Modules et arguments
lesbonsprofs.com
Image
Cours Modules et arguments
1
Video Modules et arguments
2
Exercice QCM - Modules et arguments
3
Video Propriétés des modules et arguments
4
Exercice QCM - Propriétés des modules et arguments
5
Exercice QCM - Modules et arguments
6
Video Modules et arguments- Exercice 1
7
Exercice Devoir sur feuille
8
Video Modules et arguments- Exercice 2
9
Exercice Devoir sur feuille
QCM
  • 1
  • 2

L'énoncé

Ce QCM comporte deux questions indépendantes. Pour chacune d’elles, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.

Un brouillon sera nécessaire pour répondre.

Tu as obtenu le score de

Question 1

\(Z = \dfrac{2+4i}{2-i}\)

Le point \(M\) d’affixe \(Z\) est sur le cercle trigonométrique.

Non, \(Z = \dfrac{2+4i}{2-i}\) \(Z = \dfrac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\) $Z=\dfrac{10i}{5}$ $Z=2i$ C'est un imaginaire pur.

\(Z = \overline{Z}\)

Non, \(Z = \dfrac{2+4i}{2-i}\) \(Z = \dfrac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\) $Z=\dfrac{10i}{5}$ $Z=2i$ C'est un imaginaire pur et il est l'opposé de son conjugué.

\(Z\) est un imaginaire pur.

Oui : \(Z = \dfrac{2+4i}{2-i}\) \(Z = \dfrac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\) $Z=\dfrac{10i}{5}$ $Z=2i$ C'est un imaginaire pur.

\(Z = \dfrac{2}{3}i\)

Non, \(Z = \dfrac{2+4i}{2-i}\) \(Z = \dfrac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\) $Z=\dfrac{10i}{5}$ $Z=2i$ C'est un imaginaire pur.

Écrivez \(Z\) sous la forme algébrique en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.


Si la partie réelle est nulle, \(Z\) est donc un imaginaire pur.


\(Z\) est réel \(\Leftrightarrow Z = \overline{Z}\)


\(M\) d’affixe \(Z\) est sur le cercle de centre \(O\) de rayon 1 \(\Leftrightarrow |Z| = 1\)

$Z=2i$ et c'est un imaginaire pur.


Question 2

Soit \(Z = \sqrt{3}-i\).

On a: 

Un argument de \(Z\) est \(-\dfrac{5\pi}{6}\).

Non : \(arg(Z) = \dfrac{-\pi}{6}[2\pi]\)

Un argument de \(\overline{Z}\) est \(\dfrac{\pi}{6}\).

Le point \(M\) d’affixe \(Z\) est sur le cercle de centre \(O\), de rayon \(\sqrt{2}\).

Non, le module de $Z$ vaut $2$ donc le rayon du cercle vaut $2$.

Le point \(M\) d’affixe \(Z^2\) est sur l’axe des ordonnées.

Non car son argument ne vaut pas $\dfrac{\pi}{2} [\pi]$

Calculez l’argument de \(Z\). Vous trouverez celui de son conjugué facilement.


Souvenez-vous : \(arg(\overline{Z}) = -arg(Z)[2\pi]\)


\(M\) d’affixe \(Z\) est sur le cercle de centre \(O\) de rayon \(\sqrt{2} \Leftrightarrow |Z|=2\)


Le point \(N\) d’affixe \(Z^2\) est sur l’axe des ordonnées \(\Leftrightarrow Z^2\) est imaginaire pur. Il faut donc calculer \(Z^2\).

Calculez le module de \(Z\). On a \(|Z| = 2\)
Première méthode :
Soit \(\theta\) un argument de \(Z\) modulo \(2\pi\).
On a : \(cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(sin\theta =\dfrac{-1}{2}\).

On reconnait ici les cosinus et sinus de l’angle \(\dfrac{-\pi}{6}\).
Ainsi : \(arg(Z) = \dfrac{-\pi}{6} [2\pi]\)
On en déduit que \(arg (\overline{Z})= \dfrac{\pi}{6}[2\pi]\)
Deuxième méthode :
\(Z = |Z|(cos\theta+isin\theta\)) avec \(|Z| = 2\) donc \[Z =\sqrt{3}-i=2\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right) \]

D’où : \(cos(a) =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(sin(a) = \dfrac{-1}{2}\)
Ainsi : \(arg(Z) = \dfrac{-\pi}{6}[2\pi]\)

On peut voir les autres réponses : le module de \(Z\) est \(2 \neq \sqrt{2}\), la réponse C n’est pas bonne.
Pour D : \(z^2 = 3-1+2i\sqrt{3} = 2+2i\sqrt{3}\) n’est pas imaginaire pur don