L'énoncé
On donne \(z = 3 +\sqrt{3}i\) et \(z' = -1+2i\)
Question 1
Ecrire sous forme algébrique : \(z_1 = z - \overline{z'}\).
\(z_1 = z - \overline{z'}\)
\(z_1 = 3 + \sqrt{3}i-(-1-2i)\)
\(z_1 = 3+\sqrt{3}i+1+2i\)
\(z_1 = 4+(\sqrt{3}+2)i\)
Si \(z = x+iy\) alors \(\overline{z} = x – iy\). C’est la définition du conjugué d’un nombre complexe.
Question 2
Ecrire sous forme algébrique : \(z_2 = z . \overline{z}\).
\(z_2 = z.\overline{z}\)
\(z_2 = |z|^2\)
\(z_2 = |3+\sqrt{3}i|^2\)
\(z_2 = 3^2+(\sqrt{3})^2 = 12\)
Il convient de remplacer z par l'expression donnée dans l’énoncé.
Ensuite ce n'est que du calcul.
Question 3
Ecrire sous forme algébrique : \(z_3 = z^2\).
\(z_3 = z^2\)
\(z_3 = (3+\sqrt{3}i)^2\)
\(z_3 = 3^2+2\times3\times\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2\)
\(z_3 = 9+6\sqrt{3}i+(\sqrt{3})^2(i)^2=9+6\sqrt{3}i-3\)
\(z_3 = 6+6\sqrt{3}i\)
Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
Question 4
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : \(z_4 = z'^3\).
\(z_4 = z'^3\)
\(z_4 = (-1+2i)^3\)
\(z_4 = (-1)^3+3\times(-1)^2\times(2i)+3\times(-1)^1\times(2i)^2+(2i)^3\)
\(z_4 = -1+6i-3\times(-4)+8i^3\)
\(z_4 = -1+6i+12+8i\times{i^2}\)
\(z_4 = -1+6i+12-8i\)
\(z_4 = 11-2i\)
Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
Question 5
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : \(z_5 = \dfrac{z}{z'}\).
\(z_5 = \dfrac{z}{z'}\)
\(z_5 = \dfrac{3+\sqrt{3}i}{-1+2i}\)
\(z_5 = \dfrac{(3+\sqrt{3}i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}\)
\(z_5 = \dfrac{-3-3 \times 2i-\sqrt{3}i-2\sqrt{3}i^2}{(-1)^2-(2i)^2}\)
\(z_5 = \dfrac{-3-6i-\sqrt{3}i+2\sqrt{3}}{1-(-4)}\)
\(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3-i(6+\sqrt{3})}{5}\)
\(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{5}-i\dfrac{6+\sqrt{3}}{5}\)
Il convient de remplacer $z$ et $z'$ par les expressions données dans l’énoncé.
Il faut se débrouiller pour ne plus avoir de partie imaginaire au dénominateur.
On multiplie pour cela le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.