Partie A
On considère l’équation $(E)$ suivante : $51x − 26y = 1$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.
1) Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
2) A) Donner un couple solution ($x_0$ ; $y_0$) de cette équation.
B) Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation.
Partie B
On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :
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A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
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10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
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U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
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20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Afin de coder une lettre de l’alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par :
$f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.
La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.
1) Coder la lettre $N$.
2) En utilisant la partie $A$, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \le a \le 25$ et $51a \equiv 1\; [26]$.
3) Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne par $26$ d'une fonction de décodage $f^{-1} (y) = ay + 2$.
4) Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre $N$. Que constate-t-on ?
5) On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?
Partie A
1) On cite le théorème de Bezout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d’entiers relatifs ($u$; $v$) tel que : $au + bv = 1$
$51$ et $26$ sont premiers entre eux, donc d’après le théorème de Bezout, il existe un couple ($u$; $v$) d’entiers relatifs tels que $51u − 27v = 1$
2) A) $51(-1)-26(-2) = -51 + 52 = 1$
Donc $(-1;-2)$ est solution de cette équation.
B) Soit $(x;y)$ une solution générale de l'équation. En soustrayant termes à termes les égalités suivantes :
$51x - 26y = 1\quad$ et
$51(-1) - 26(-2) = 1$
On obtient = $51(x+1) - 26 (y+2) = 0 \Leftrightarrow 51 (x+1) = 26(y+2) \quad(E')$
$26$ divise $51 (x+1)$, or $pgcd \ (51 ; 26) = 1$ donc, d'après le théorème de Gauss, $26$ divise $(x+1)$.
Ainsi, il existe un entier $k$ vérifiant : $x+1 = 26k, k \in \mathbb{Z}$
En remplaçant $x$ par $26k-1$ dans $(E')$, on a :
$51x − 26y = 1 \iff 51(26k-1) − 26y = 1$
$\iff 51\times26k-26y=52$
$\iff 26(51k-y)=26\times2$
$\iff y=51k-2$
L'ensemble des couples solutions de l'équation est de la forme :
$S = \{( -1 + 26 k;-2 + 51k)\quad ,k \in \mathbb{Z}\} $
Partie B
1) $N \rightarrow 13$ donc $f(13) = 51(13) + 2 = 665 $
Or, $665 \equiv 15\; [26]$ donc le reste est : $y=15$
La lettre $N$ est donc codée par $15$.
2) $51a \equiv 1 [26] \Leftrightarrow 51a \equiv 1 + 26k, k \in Z \Leftrightarrow 51a - 26k \equiv 1, k \in\mathbb{Z}$
Donc, d'après la partie $A$, $a$ est de la forme : $a = -1 + 26k$.
Comme $0 \le a \le 25$, seul $k = 1$ correspond, donc $a=-1 + 26 = 25$
3) On a : $51x + 2 \equiv y\; [26] \Leftrightarrow 51x \equiv y -2\; [26]$
En multipliant par $a$, on obtient : $51a \ x \equiv ay - 2a\; [26]$
D'après la question précédente $51a \equiv 1\; [26]$ donc $x \equiv ay - 2a\; [26]$
Comme $a = 25$, on a : $-2a = -50 = 26(-2) +2$ donc $-2a \equiv 2\; [26]$
Conclusion : $x \equiv ay + 2 [26] \Leftrightarrow f^{-1} (y) = ay +2$
4) $N \rightarrow 13$ Or, $f^{-1} (13) = 25(13) + 2 = 327$
$327 \equiv 15\; [26]$ et $x= 15$ correspondant à $P$
On constate que la lettre $N$ se code et se décode en $P$.
5) D'après la question précédente, comme $N$ se code et se décode en $P$, on peut raisonnablement penser que si on compose deux fois la fonction $f$ de codage, on obtient la fonction identité.
Vérifions-le :
$f[f(x)] \equiv f(51x + 2)\; [26]$
$f[f(x)] \equiv 51 (51x+2) +2\; [26]$
$f[f(x)] \equiv 2601x + 51 \times 2 + 2\; [26]$
On a : $2601 = 26 \times 100 + 1 \equiv 1\; [26]$ donc
$f[f(x)] \equiv x + 104\; [26]$
De plus : $104 = 26 \times 4 \equiv 0\; [26]$ donc
$f[f(x)] \equiv x\; [26]$
Si on applique deux fois de suite la fonction $f$ à une lettre, on obtient la même lettre.
Si l'on réitère $50$ fois cette opération soit $100$ fois la fonction $f$, on obtient la même lettre de départ.