L'énoncé
Question 1
Restitution organisée de connaissances :
Démontrez que s'il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que \(au + bv = 1\), alors \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
Soit \(d\) un diviseur commun à \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise \(au + bv\), donc \(d\) divise 1.
Ainsi \(d\) vaut 1 ou -1, et le PGCD de \(a\) et de \(b\) est donc 1.
Ainsi, \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.
Question 2
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que : \(x \equiv 2[7]\) et \(y \equiv 3[7]\).
La propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?
\(x+y \equiv 5[7]\)
Vraie. C'est une propriété du cours.
Question 3
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que : \(x \equiv 2[7]\) et \(y \equiv 3[7]\).
La propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?
\(xy \equiv 6[7]\)
Vraie. C'est une propriété du cours.
Question 4
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que : \(x \equiv 2[7]\) et \(y \equiv 3[7]\).
La propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?
\(x^y \equiv 1[7]\)
Fausse
Prenons $x=2$ et $y=10$. on a $2^{10}=1024$
Or $1024=146\times 7 + 2$ donc $x^y\equiv 2[7]$ et cela contredit la propriété.
Cherchez plutôt un contre-exemple.
Question 5
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que : \(x \equiv 2[7]\) et \(y \equiv 3[7]\).
La propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?
Il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que : \(xu + 7v=1\)
Vraie
On a : \(x \equiv 2[7]\) donc \(4x \equiv 8[7]\) soit : \(4x \equiv 1[7]\)
Ainsi, il existe un entier $k$ tel que $4x-1 =7k$
On peut écrire : $4x-7k=1$. En posant $u=4$ et $v=-k$, on a montré la propriété précédente.
Question 6
Soient \(x\) et \(y\) deux entiers tels que : \(x \equiv 2[7]\) et \(y \equiv 3[7]\).
La propriété suivante est-elle vraie ou fausse ?
Il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que : \(yu + 7v=1\)
Vraie
On a: \(y \equiv 3[7]\) soit \(5y \equiv 15[7]\) ou encore \(5y \equiv 1[7]\).
Ainsi, il existe une entier $k$ tel que $5y-1=7k$ ou encore $5y-7k=1$.
En posant $u=5$ et $v=-k$, on a montré la propriété précédente.