Fiche de cours
Equation Diophantienne
Définition
Une équation diophantienne est une équation algébrique de la forme $ax+by=c$ (E) avec $a$, $b$ et $c$ entiers ($a$ et $b$ non nuls).
On cherche des couples $(x;y)$ d'entiers solutions.
Existence de solutions
(E) admet des solutions $\iff$ $PGCD(a,b)$ divise $c$
Dans l'équation suivante : (E) $4x-2y=1$, on a :
$PGCD(4;2)=2$
Or, 2 ne divise pas 1 donc l'équation n'a pas de solutions.
Exemple
Résoudre $41x-27y=1$ (E) dans $\mathbb{Z}^2$.
étape 1 : On cherche le $PGCD$ des nombres du membre de gauche. On effectue l'algorithme d'Euclide.
$41=27 \times 1 + 14 $
$27= 14 \times 1 + 13$
$14= 13 \times 1 + 1$
Ainsi : $PGCD (41 ; 27)=1$.
41 et 27 sont premiers entre eux.
étape 2 : On vérifie que le $PGCD (41 ; 27)$ divise le membre de droite, soit 1.
L'équation (E) admet donc des solutions.
étape 3 : On cherche une solution particulière.
$41=27 \times 1 + 14 $
$27= 14 \times 1 + 13$
$14= 13 \times 1 + 1$
On multiplie les deux membres de la première égalité par 2 et on remonte l'algorith