L'énoncé
Soit \(d\) leur PGCD.
Question 1
Montrer que : \(d = 2^{\alpha}\times 3^{\beta}\) avec : \(0\) \( \leq\) \( \alpha \leq\) \( 1\) et \(0\) \( \leq \beta \leq\) \( 5\)
\(d\) étant le PGCD de \(a\) et de \(b\), il existe \(a'\) et \(b'\) entiers naturels premiers entre eux tels que : \(a = da'\) et \(b = db'\).
Ainsi, \(d (a' + b') = 486\) et \(d\) divise 486.
Or, \(486 = 2 \times 243\)
\(486 = 2 \times 3 \times 81\)
\(486 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)
\(486 = 2^1 \times 3^5\).
Ainsi , comme \(d\) divise 468,
\(d = 2^{\alpha} \times 3^{\beta}\) avec \(0 \leq \alpha \leq 1\), \(0 \leq \beta \leq 5\).
On obtient : \(d (a’ + b’) = 486\), \(a’\) et \(b’\) étant des entiers naturels non nuls tels que \(da’ = a\) et \(db’ = b\).
Ecrire la décomposition en facteurs premiers de 486.
Si \(d\) divise 486, il s’écrit comme produit de facteurs de la décomposition de 486.
Question 2
Sachant que \(a\) et \(b\) ont six diviseurs communs strictement positifs, que \(ab\) est multiple de 10 et que 5 ne divise pas \(b\), montrer que \(d = 18\).
Les six diviseurs communs de \(a\) et de \(b\) divisent \(d\).
Ils valent donc : 1, 2 , 3 , 6 , 9 et 18 ou 1, 3 , 9 , 27, 81 , 243.
On aura donc \(d = 18\) ou \(d = 243\).
Si \(d = 243\), alors \(a' + b' = 2\), soit : \(a '= 1 = b'\).
Ainsi, \(ab = 243^2\) , qui n'est pas multiple de 10.
Donc \(d = 18\).
Raisonner par l’absurde pour éliminer une des deux possibilités.
Question 3
En déduire \(a\) et \(b\).
\(a '+ b '= 27\).
Or \(ab = da'b\) et 5 ne divise ni \(b\) ni \(d\), donc il divise \(a'\).
\(100 < a < b \Rightarrow 5 < a' < b'\). Ainsi : \(a '= 10\) et \(b' = 17\).
Conclusion : \(a = 180\) et \(b = 306\).
\(ab\) est multiple de 10 mais 5 ne divise ni \(b\) ni \(d\), il divise donc \(a’\) !
N’oubliez pas que \(a < b \Rightarrow a’ < b’\), établir ainsi l’unique possibilité pour \(a’\).
Conclure en donnant les valeurs correspondantes de \(a\) et \(b\).