Fiche de cours
PGCD et PPCM
Définition
Soient \(a\) et \(b\), deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On suppose que :
\(a = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ... \times p_n^{\alpha_n}\)
\(b = p_1^{\beta_1} \times p_2^{\beta_2} \times ... \times p_n^{\beta_n}\)
On note \(m = min (\alpha_i : \beta_i)\) avec \(i\) entier naturel non nul.
\(M = max (\alpha_i : \beta_i)\)
Le PGCD de deux entiers est le plus grand diviseur commun de ces deux entiers.
Le PPCM de deux entiers est le plus petit commun multiple de ces deux entiers.
On a :
\(PGCD (a ; b) = p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times ... \times p_n^{m_n}\)
\(PPCM (a ; b) = p_1^{M_1} \times p_2^{M_2} \times ... \times p_n^{M_n}\)
Propriétés du PGCD
Soit $a$, $b$ et $r$ entiers non nuls.
1) $PGCD(a;b)\geq 1$
2) $PGCD(a;b) = PGCD(b;a)$
3) $PGCD(a;a)=\vert a\vert$
4) $PGCD(a;b) =PGCD(-a;b) =PGCD(a;-b)$
5) Si $b\mid a$, $PGCD(a;b)=\vert b \vert$
6) Si $a=bq+r$ alors, $PGCD(a;b) =PGCD(b;r)$