Cours Étude de la convexité d'une fonction
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Cours Étude de la convexité d'une fonction
1
Video Convexité des fonctions de référence
2
Video Étude de la convexité d'une fonction
3
Exercice QCM - Fonctions convexes, le cours
4
Video Étude de la convexité d'une fonction - Exercice 1
5
Video Étude de la convexité d'une fonction - Exercice 2
6
Exercice Exercice - Sens de variation et convexité
7
Exercice Exercice - Bénéfice maximum
QCM
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

Tu as obtenu le score de

Question 1

Soit \(f\) une fonction dérivable non constante sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(3) = f(8) = 5\). Alors la fonction \(f\) est :

Croissante sur \(\mathbb{R}\).

Décroissante sur \(\mathbb{R}\).

Non monotone sur \(\mathbb{R}\).

La fonction vaut 5 pour deux valeurs de \(x\) et n’est pas constante, elle est donc au moins une fois croissante puis décroissante, ou au moins une fois décroissante puis croissante, et donc non monotone.

Constante sur \(\mathbb{R}\).

As-tu utilisé les données de l’énoncé ? Fais un dessin, cela t'aidera.

Question 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \( f(x) = x^3 + 3\).
Alors la fonction \(f\) est :
Décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Croissante sur \(\mathbb{R}\).
La dérivée étant strictement positive (\(f’(x)=3x²\)), la fonction est croissante.
Non monotone sur \(\mathbb{R}\).
Constante sur \(\mathbb{R}\).
Pour trouver le sens de variation d’une fonction, il suffit d’étudier le signe de sa dérivée !

Question 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0, +\infty[ \) par :
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} - x^2 + 5, \text { pour } x \in [0; 2 ] \\ \dfrac{3}{x + 2}, \text { pour } x > 2 \end{array} \right. \)
Alors la fonction \(f\) est :

Continue sur \([0, +\infty[\).

\(f\) n'est pas continue en \(2\)

Croissante sur \([0, +\infty[\).

Décroissante sur \([0, +\infty[\).

\(f'(x) = \left\{ \begin{array}{ll} - 2x, \text { pour } x \in [0; 2 ] \\ \dfrac{-3}{(x + 2)^2}, \text { pour } x > 2 \end{array} \right. \)

\(f’(x)<0\) pour \(x\) appartenant à \([0, +\infty[\) , donc \(f\) est décroissante.

De plus : \( \displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{3}{4} \).

On a aussi : \(f(2) = 2^2 + 5 \times 2= 14\)

Donc \(f\) n’est pas continue en 2.

Constante sur \([0;+\infty[\).

Le seul problème est pour \(x=2\). Pour étudier la continuité, il suffit de vérifier si : \( \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{3}{x + 2} = 2^2 + 5\).


Pour le sens de variation, on dérive les deux expressions…

Question 4

La fonction racine carrée de \(x \) , notée \( \sqrt{x}\) est :
Concave sur \([0; +\infty[\).
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\(f’\) est décroissante, donc \(f\) est concave.
Convexe sur \([0; +\infty[\).
Ni l'un, ni l'autre.
Décroissante sur \([0;+\infty[\).
Connais-tu la définition d’une fonction concave ? Convexe ? Sinon, regarde la vidéo ou relis ton cours !
Connais-tu la dérivée de la fonction racine carrée ? Il faut l’apprendre par cœur !

Question 5

La fonction \(f\) définie sur \([0; +\infty[ \) par :  \(f(x) = \dfrac{4x}{x+1}\)

Est concave sur \([0; +\infty[\).

\( f'(x) = \dfrac{4(x+1)-4x}{(x+1)^2} = \dfrac{4}{(x+1)^2}\)

\( f''(x) = \dfrac{-8}{(x+1)^3}\)

\(f’’\) est négative sur \([0 ; +\infty[\) et ne s’annule pas, donc \(f\) est concave.

Est convexe sur \([0; +\infty[\).

À une courbe admettant un seul point d’inflexion.

Sais-tu ce qu’est un point d’inflexion ? Sinon, regarde la vidéo.


Il faut étudier le signe de la dérivée seconde de \(f\).