L'énoncé
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Question 1
Soit \(f(x) = x^2 ln (x) \) pour tout $x>0$
Le nombre dérivé de \(f\) en \(e\) est :
\(3e\)
\(e^2\)
\(0\)
Cette fonction se présente sous la forme : \(f(x) = {u(x)}\times{v(x)}\). Sa dérivée est donc....
\(f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)
Question 2
Soit \(g(x) = \ln(2x^2+3)\). La fonction dérivée de \(g\) est :
\(g'(x)= \dfrac{4x}{2x^2 +3}\)
\( g'(x) =\dfrac{4x}{2x^2 +3}\)
\( g'(x)=\dfrac{1}{2x^2 +3}\)
\(g'(x)= \dfrac{2x^2 +3}{4x}\)
La dérivée d'une fonction composée est : \((\ln(u(x)))' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\)
Question 3
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R^{*+}}$ par $f(x)= x\ln x$. Que vaut sa dérivée ?
$f'(x)= \ln x +1$
$f$ est de la forme $u\times v$ donc $f'$ est de la forme $u'v+uv'$
$f'(x)= \ln x +\dfrac{1}{x}$
$f'(x)= \ln x +\dfrac{1}{x}$
Question 4
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R^{*+}}$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. Que vaut sa dérivée ?
$f'(x)= \dfrac{1+\ln x}{x^2}$
$f'(x)= \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$f'(x)= \dfrac{-\ln x}{x^2}$
Question 5
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R^{*+}}$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$. Que vaut sa dérivée ?
$f'(x)= \dfrac{1-2\ln x}{x^3}$
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$f'(x)= \dfrac{x-2\ln x}{x^4}$
$f'(x)= \dfrac{x^2-2\ln x}{x^4}$
\(f'(x) = 2x \ln (x) + \dfrac{x^2}{x} = 2x \ln (x) + x \)
\(f'(e) = 2e \ln (e) +e = 3e \)