Fonctions composées - ln (u(x))

Fonctions composées $\ln(u(x))$

Théorème

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par:

$\displaystyle f(x) = \ln(u(x))$ où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$,

alors $f$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = \displaystyle\dfrac{u'(x)}{u(x)}.$

Exemple

Déterminer l'ensemble de définition et la dérivée de la fonction $f$ définie par : 

$\displaystyle f(x) = \ln(x^2+x+1)$

Le discriminant $\Delta = 1-4= -3$ donc

$x^2+x+1 > 0$.

La fonction est donc définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a :

$u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1.$

Alors : $f'(x) = \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}$.

Pour étudier les variations de cette fonction, on pourra juste étudier le signe de $2x+1$