Partie A 

1) En choisissant $y=-x$ on a :

$e^x \times e^y=e^{x+y}$ devient : $e^x \times e^{-x} = e^0$

Donc $e^x \times e^{-x} = 1$ donc $ e^{-x} = \dfrac{1}{ e^x }$. 

2) Montrer par récurrence que tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n :  (e^x)^n= e^{nx}$.

Si $n=0,  (e^x)^0= 1 = e^0 = e^{0x}$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

Montrons que pour tout $n$, la propriété est héréditaire soit que pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $(e^x)^n=e^{nx}$ alors $(e^x)^{n+1}=e^{(n+1)x}$

$(e^x)^{n+1}= (e^{x})^n \times e^{x} = e^{ n x} \times e^{x} = e^{ n x+x} = e^{(n+1) x} $.

La propriété est héréditaire pour tout $n$ donc est vraie pour $n\in \mathbb{N}$.

Partie B

1) a) $u_0= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{e^{-0x}}{1+ e^{-x}} dx = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ e^{-x}} dx $

$u_1= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-x}}{1+ e^{-x}} dx $

Donc $u_0+u_1= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ e^{-x}} dx + \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-x}}{1+ e^{-x}} dx $

$ u_0+u_1= \displaystyle\int_0^1 \bigg(\dfrac{1}{1+ e^{-x}} +  \dfrac{ e^{-x}}{1+ e^{-x}} \bigg) dx $

Donc $ u_0+u_1=  \displaystyle\int_0^1 1 dx = \bigg [ x \bigg]^1_0=1$

b) La fonction $ x\rightarrow \dfrac{ e^{-x}}{1+ e^{-x}} $ est de la forme $- \dfrac{u’}{u}$ où

$u(x)= 1 +e^{-x}$ donc une primitive de la fonction $ x\rightarrow \dfrac{ e^{-x}}{1+ e^{-x}} $

est la fonction $ x \rightarrow  - \ln(1+ e^{-x})$

Donc $u_1=  - \ln(1+ e^{-x}) + \ln(1+ e^{0}) = \ln 2 - \ln(1+ e^{-1})$

$u_0= 1 – u_1 = 1 + \ln(1+ e^{-1}) –\ln 2$

2) La fonction $ x\rightarrow \dfrac{ e^{-nx}}{1+ e^{-x}} $ est continue positive sur $\mathbb{R}$ et $ 0 < 1$ donc :

$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-nx}}{1+ e^{-x}} dx\geq 0$ soit pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq 0$.

3) a) $u_{n+1}-u_{n}= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-(n+1)x}}{1+ e^{-x}} dx + \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-nx}}{1+ e^{-x}} dx $

$\iff u_{n+1}-u_{n}= \displaystyle\int_0^1 \bigg(\dfrac{ e^{-(n+1)x }}{1+ e^{-x}} + \dfrac{ e^{-nx}}{1+ e^{-x}} \bigg) dx $

$\iff u_{n+1}-u_{n}= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ e^{-(n+1)x} + e^{-nx }}{1+ e^{-x}} dx $

$\iff u_{n+1}-u_{n}= \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ (e^{-x} +1) e^{-nx }}{1+ e^{-x}} dx $

$\iff u_{n+1}-u_{n}= \displaystyle\int_0^1 e^{-nx }dx =  \bigg[ - \dfrac{ e^{-nx }}{n} \bigg]^1_0$

$\iff u_{n+1}-u_{n}=  \dfrac{ 1-e^{-n }}{n} $.

b) Pour tout entier naturel $n$ non nul, $ u_n \geq 0$ donc $ u_{n+1}\geq 0$

Or $u_{n+1}-u_n = \dfrac{1- e^{-n }}{n}$

Donc pour tout entier naturel $n$ non nul, $ u_n \leq \dfrac{1- e^{-n }}{n}  $.

4) $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-n}=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1- e^{-n}}{n}=0$.

Or pour tout entier naturel $n$ non nul,  $0\leq u_n\leq \dfrac{1- e^{-n}}{n}$ donc d’après le théorème des gendarmes :

$\lim\limits_{x\to +\infty} u_n=0$