Fiche de cours
Calculs d'intégrales
Propriété
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.
Soit $F$, une primitive de \(f\) sur $I$.
Pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $I$, on a :
$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt= F(b)- F(a) $ que l'on note aussi
$\displaystyle\int_{a}^b f(t) dt=\left[F(t)\right]_{a}^b$
Exemples
Calculer :
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx\).
$J$=\(\displaystyle \int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx\).
Correction
Calcul de $I$
Étape 1 : La fonction $f(x)= \dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.
On décompose l'expression en trois fractions de dénominateur commun.
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2})dx\)
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 (1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2})dx\)
$I$=\(\displaystyle\int_{1}^2 dx+ \int_{1}^2\dfrac{3}{x}dx+ \int_{1}^2\dfrac{1}{x^2}dx\)
Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.
$I$= \(\displaystyle \left[x+3\ln x-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^2\)
Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.
$I$= \(\displaystyle (2+3\ln 2-\dfrac{1}{2})-(1+3\ln 1-\dfrac{1}{1})\)
$I$= \(\displaystyle \d