Exercice - Primitives, exponentielles et ln

Une primitive sur \(\left]2;+\infty\right[\) de \(f(x) = \dfrac{1}{x-2}\) est  : \(F(x)=\ln(x-2)\)

Point méthode :
La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( \dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(x-2\). La dérivée est \(u'(x) = 1\).
Ici, c'est facile, on a directement \(f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\) avec \(u(x) = x - 2\).
On sait que \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(\ln|u(x)|+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme : \(F(x)=\ln(x-2)\).

Une primitive sur \(\left]3;+\infty\right[\) de \(f(x) = \dfrac{1}{3x-9}\) est \(F(x)=\dfrac{1}{3}\ln(3x-9)\)

 Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( \dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(3x-9\). La dérivée est \(u'(x) = 3\).
On peut donc écrire \( f(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{3x-9}\).

Ou dit autrement \(f(x) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) avec \(u(x) = 3x - 9\).
On sait que \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(\ln|u(x)|+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme : \(F(x)=\dfrac{1}{3}\ln(3x-9)\).

Une primitive sur \(\left]1;+\infty\right[\) de \(f(x) = -\dfrac{2}{x-1}\) est \(F(x)=-2\ln(x-1)\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( \dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(x-1\). La dérivée est \(u'(x) = 1\).
On peut donc écrire \( f(x) = -2 \times \dfrac{1}{x-1}\).

Ou dit autrement \(f(x) = -2 \times \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) avec \(u(x) = x-1\).
On sait que \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(\ln|u(x)|+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme \(F(x)=-2 \ln(x-1)\). 

Une primitive sur \(\left]-\infty;2\right[\) de \(f(x) = \dfrac{5}{4-2x}\)  est :  \(F(x)=-\dfrac{5}{2}\ln(4-2x)\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( \dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(4-2x\). La dérivée est \(u'(x) = -2\).
On peut donc écrire \( f(x) = \dfrac{5}{-2} \times \dfrac{-2}{4-2x}\).

Ou dit autrement \(f(x) = -\dfrac{5}{2} \times \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) avec \(u(x) = 4-2x\).
On sait que \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(\ln|u(x)|+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme \(F(x)=-\dfrac{5}{2}\ln(4-2x)\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = e^{3x}\) est : \(F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( u'(x) \times e^{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(3x\). La dérivée est \(u'(x) = 3\).
On peut donc écrire \( f(x) = \dfrac{1}{3} \times 3\times e^{3x}\).

Ou dit autrement \(f(x) = \dfrac{1}{3} \times u'(x) \times e^{u(x)} \) avec \(u(x) = 3x\).
On sait que \(u'(x)\times e^{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(e^{u(x)}+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme \(F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = e^{3-x}\) est \(F(x)=-e^{3-x}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( u'(x) \times e^{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(3-x\). La dérivée est \(u'(x) = -1\).
On peut donc écrire \( f(x) = (-1) \times (-1)\times e^{3-x}\).

Ou dit autrement \(f(x) = -u'(x) \times e^{u(x)} \) avec \(u(x) = 3-x\).
On sait que \(u'(x)\times e^{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(e^{u(x)}+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme : \(F(x)=-e^{3-x}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 3e^{2-4x}\) est \(F(x)=-\dfrac{3}{4}e^{2-4x}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( u'(x) \times e^{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(2-4x\). La dérivée est \(u'(x) = -4\).
On peut donc écrire \( f(x) = -\dfrac{1}{4} \times (-4) \times 3e^{2-4x}\).

Ou dit autrement \(f(x) = -\dfrac{3}{4} u'(x) \times e^{u(x)} \) avec \(u(x) = 2-4x\).
On sait que \(u'(x)\times e^{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(e^{u(x)}+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme \(F(x)=-\dfrac{3}{4}e^{2-4x}\).

Une primitive sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = -2e^{-x}\) est : \(F(x)=2e^{-x}\)

Point méthode :
Ici, encore on ne peut pas déterminer une primitive directement. La solution est de faire apparaître une expression de la forme \( u'(x) \times e^{u(x)}\).
Pour \(u(x)\), pas de problème, on prend \(-x\). La dérivée est \(u'(x) = -1\).
On peut donc écrire \( f(x) = (-1) \times (-1) \times \left(-2e^{-x}\right)\).

Ou dit autrement \(f(x) = 2 \times u'(x) \times e^{u(x)} \) avec \(u(x) = -x\).
On sait que \(u'(x)\times e^{u(x)}\) admet une primitive de la forme \(e^{u(x)}+K\) où \(K\) est un réel.
On peut en conclure qu'une primitive de \(f(x)\) s'écrit de la forme : \(F(x)=2e^{-x}\).