L'énoncé
Exercice : Droite d’Euler dans un triangle.
\(ABC\) est un triangle et \(O\) le centre de son cercle circonscrit. \(A’\) est le milieu du segment \([BC]\), \(B’\) celui de \([CA]\) et \(C’\) celui de \([AB]\).
On considère le point \(H\) défini par : \( \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} \)
Question 1
Justifiez que \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}\).
D'après la relation de Chasles, on a :
\(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'C} = 2\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}\).
De plus \(A\) est le milieu de \([BC]\), on a alors \(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} = 0\).
Conclusion, on obtient \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}\).
Il faut utiliser la relation de Chasles. Un oubli ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.
Sur le segment \([BC]\), seul le point \(A’\) a une position particulière.
Il faut ensuite traduire que \(A’\) est le milieu du segment par une relation vectorielle. Faites une figure.
Calculez \(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}\).
Question 2
On a : \( \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} \)
En déduire que \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OA'}\)
De l'égalité : \( \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} \),
On sait de plus que : \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}\)
on déduit \( \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OA'} \), d'où
\( \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{OA'}\).
En utilisant la relation de Chasles dans le membre de gauche, on a finalement \(\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OA'}\).
Partez de l’expression de \(\overrightarrow{OH}\) donnée dans l’énoncé.
Même si vous ne voyez pas ou cela mène, vous n’avez pas le choix, essayez de transformer \(\overrightarrow{OH}\) en utilisant la question 1.
Question 3
Démontrez alors que les droites \((AH)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires.
D'après la question 2, \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{OA'}\) sont colinéaires, d'où \((AH)\) et \((OA)\) sont parallèles, de plus \((OA)\) est la médiatrice de \([BC]\), donc \((OA)\) est perpendiculaire à \((BC)\).
En conclusion, \((BC)\) et \((AH)\) sont perpendiculaires.
Savez-vous ce que sont des vecteurs colinéaires ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.
Les vecteurs colinéaires ont une propriété particulière. La connaissez-vous ?
Cela donne des informations sur des droites parallèles.
Question 4
De la même manière, démontrer que la droite \((BH)\) est perpendiculaire à la droite \((AC)\).
D'après la relation de Chasles, on a :
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{B'A}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{B'C}\).
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}= 2\overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{B'A} +\overrightarrow{B'C}\)
De plus \(B\) est le milieu de \([AC]\), on a alors \(\overrightarrow{B'A}+\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{0}\).
Conclusion, on obtient \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB'}\).
De l'égalité : \(\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)
on déduit \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OB} +2\overrightarrow{OB'}\),
d'où \(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{BO} =2\overrightarrow{OB'}\).
En utilisant la relation de Chasles dans le membre de gauche, on a finalement \(\overrightarrow{BH} = 2 \overrightarrow{OB'}\).
\(\overrightarrow{BH}\) et \(\overrightarrow{OB'}\) sont colinéaires, \((BH)\) et \((OB)\) sont alors parallèles, de plus \((OB)\) est la médiatrice de \([AC]\), \((OB)\) et \((AC)\) sont alors perpendiculaires et on en déduit alors que \((BH)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires.
C’est la même méthode que précédemment.
Modifiez l’expression \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\).
Question 5
Que représente le point \(H\) pour le triangle \(ABC\) ?
\(H\) est alors le point d'intersection de \((BH)\) et \((AH)\) qui sont deux hauteurs du triangle \(ABC\).
Donc \(H\) est l'orthocentre du triangle \(ABC\).
Vous avez deux droites issues de deux sommets qui sont perpendiculaires à deux bases du triangle.
Pensez aux hauteurs. Un oubli ? Allez voir la vidéo dans les prérequis.