L'énoncé
Exercice - Le grand classique des probabilités
Une usine fabrique des lecteurs MP3. À l’issue de la chaîne de montage, les lecteurs sont testés (mais le test n’est pas infaillible). On sait que :
- 5% des lecteurs sont défectueux.
- 7% des lecteurs sont rejetés lors du test.
- 90% des lecteurs ne sont ni défectueux, ni rejetés lors du test.
On choisit au hasard un lecteur construit par l’usine. On note : \(R\) et \(D\) les événements :
\(R\) : " le lecteur est rejeté lors du test ", (et son contraire).
\(D\) : " le lecteur est défectueux", (et son contraire).
Question 1
Modélisez la situation en complétant le tableau à double entrée ci-dessous :
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | |||
| \(\bar R\) | |||
| Total | 100 |
- "5% des lecteurs sont défectueux", donc on écrit 5 dans la case "total de D".
- "7% des lecteurs sont rejetés lors du test", donc on écrit 7 dans la case "total de R".
- "90% des lecteurs ne sont ni défectueux, ni rejetés lots du test", donc on écrit 90 dans la case .
- Sur les 100 lecteurs 7 sont rejetés donc 93 ne le sont pas !
- Sur les 100 lecteurs 5 sont défectueux donc 95 ne le sont pas !
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | 2 | 5 | 7 |
| \(\bar R\) | 3 | 90 | 93 |
| Total | 5 | 95 | 100 |
Prenez le temps de lire l'énoncé.
"Ni défectueux, ni rejetés" signifie \(\overline{D} \cap \overline{R}\).
L'ensemble \(\overline{D} \cap \overline{R}\) correspond à l'intersection entre la colonne \(\overline{D}\) et la ligne \(\overline{R}\).
Question 2
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | 2 | 5 | 7 |
| \(\bar R\) | 3 | 90 | 93 |
| Total | 5 | 95 | 100 |
Déterminez les probabilités des événements \(R\) et \(D\).
Calculons la probabilité de \(R\) : il y a 7 éléments dans \(R\) sur 100 au total donc :
\(P(R) = \dfrac{7}{100}\) soit \(P(R) = 0,07\)
De même \(P(D) = \dfrac{5}{100}\) soit \(P(D) = 0,05\)
À vous de lire votre tableau. N'oubliez pas qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Déterminez le nombre d'éléments de chaque groupe et divisez par le nombre total d'éléments.
Question 3
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | 2 | 5 | 7 |
| \(\bar R\) | 3 | 90 | 93 |
| Total | 5 | 95 | 100 |
Définissez par une phrase l'événement \(\overline{R}\) sans utiliser de négation puis déterminez \(P(\overline{R})\).
\(\overline{R}\) : "le lecteur est accepté lors du test."
\(P(\overline{R}) = 1 - P(R)\) donc :
\(P(\overline{R}) = 1 - 0,07\) soit :
\(P(\overline{R}) = 0,93\)
Pas de négation donc pas de "ne pas" ou de "non".
\(P(\overline{R})\) : formule de cours ou bien on utilise la case correspondante du tableau.
Question 4
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | 2 | 5 | 7 |
| \(\bar R\) | 3 | 90 | 93 |
| Total | 5 | 95 | 100 |
Définissez par une phrase l'événement \( R \cap D\) puis déterminez \(P(R \cap D)\).
Déduisez-en \(P(R \cup D)\). Justifiez.
\(R \cap D\) : "le lecteur est rejeté lors du test et défectueux."
\(P(R \cap D) = \dfrac{2}{100}\) donc \(P(R \cap D) = 0,02\)
D'après le cours :
\( P(R \cup D) = P(R) + P(D) - P(R \cap D)\)
Donc \(P(R \cup D) = 0,07 + 0,05 - 0,02\)
\(P(R \cup D) = 0,1\)
Faites bien attention : \(\cap\) signifie "intersection" donc "ET".
Pour \(P(R \cap D)\), commencez par déterminer le nombre d'éléments de \(R \cap D\) ; cherchez la bonne case dans le tableau !
Pour \(P(R \cap D)\) on peut utiliser la formule de cours.
Question 5
Déterminez la probabilité des événements suivants :
\(A\) : "le lecteur n'est pas défectueux."
\(B\) : "le lecteur nest pas défectueux et il est rejeté par le test."
L'événement \(A\) : "le lecteur n'est pas défectueux", est en fait l'événement \(\overline{D}\).
Donc \(P(A) = \dfrac{95}{100}\) soit \(P(A) = 0,95\)
L'événement \(B\) : "le lecteur nest pas défectueux et il est rejeté par le test", est en fait l'événement \(\overline{D} \cap R\).
D'après le tableau on a :
\(P(B) = \dfrac{5}{100}\) soit \(P(B) = 0,05\)
Traduisez mathématiquement (c'est-à-dire avec \(R\), \(D\), \(\overline{R}\) ou bien \(\overline{D}\)) l'événement \(A\) puis utilisez le tableau.
Question 6
| \(D\) | \(\bar D\) | Total | |
| \(R\) | 2 | 5 | 7 |
| \(\bar R\) | 3 | 90 | 93 |
| Total | 5 | 95 | 100 |
Le test n'est pas fiable s'il rejette un lecteur non défectueux ou s'il ne rejette pas un lecteur défectueux.
Soit \(E\) l'événement : "le test n'est pas fiable".
Déterminez la probabilité de \(E\).
L'événement \(E\) est composé de deux événements :
- l'événement "le test rejette un lecteur non défectueux" soit l'événement \(B\),
- l'événement "le test ne rejette pas un lecteur défectueux" soit l'événement \(\overline{R} \cap D\).
Ainsi, \(P(E) = P(B) + P(\overline{R} \cap D)\)
Or, \(P(B) = 0,05\) et de plus, \(P(\overline{R} \cap D) = \dfrac{3}{100} = 0,03\)
Par conséquent :
\(P(E) = 0,05 + 0,03\)
\(P(E) = 0,08\)
Décomposez \(E\) en plusieurs événements.
Calculez la probabilité de chacun de ces événements.
Concluez !