L'énoncé
On pose $1-\sqrt{3}<x<1+\sqrt{3}$.
Question 1
Encadrer $x^2+1$.
$1-\sqrt{3}<x<1+\sqrt{3}$
La fonction carrée est toujours positive sur son domaine de définition.
De plus, elle est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$
$0\leq x^2<(1+\sqrt{3})^2$
$0\leq x^2<1^2+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2$
$1\leq x^2+1<1+2\sqrt{3}+3 + 1$
$1\leq x^2+1<5+2\sqrt{3}$.
Commencer par élever $x$ au carré.
Question 2
Encadrer $x+3$.
$1-\sqrt{3}<x<1+\sqrt{3}$
$1-\sqrt{3}+3<x+3<1+\sqrt{3}+3$
$4-\sqrt{3}<x+3<4+\sqrt{3}$.
Ajouter $3$ à chaque membre de l'inégalité
Sans changer de signe.
Question 3
Encadrer $4x^2$.
$1-\sqrt{3}<x<1+\sqrt{3}$
La fonction carrée est toujours positive sur son domaine de définition.
De plus, elle est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$
$0\leq x^2<(1+\sqrt{3})^2$
$0\leq x^2<1^2+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2$
$0\leq x^2<4+2\sqrt{3}$
$0\leq 4x^2<4(4+2\sqrt{3})$
$0\leq 4x^2<16+8\sqrt{3}$.
Question 4
On pose maintenant $A = 6+\sqrt{7}$.
On sait que $2,645\le\sqrt{7}\le2,646$.
Donner un encadrement de $A$.
$2,645\le\sqrt{7}\le2,646$
$6+2,645\le6+\sqrt{7}\le6+2,646$
$8,645\le6+\sqrt{7}\le8,646$
$8,645\le A\le8,646$.
Il faut se servir de l'encadrement de $\sqrt{7}$ pour commencer.
Question 5
On pose $B = \dfrac{2}{3}-\sqrt{5}$.
On sait que $2,236\le\sqrt{5}\le2,2361$.
Donner un encadrement de $B$.
$2,236\le\sqrt{5}\le2,2361$
$-2,236\ge-\sqrt{5}\ge-2,2361$
$\dfrac{2}{3}-2,236\ge\dfrac{2}{3}-\sqrt{5}\ge\dfrac{2}{3}-2,2361$
$-1,56\ge B \ge -1,57$.
Ou encore $-1.57\leq B \leq -1.56$
Il faut se servir de l'encadrement de $\sqrt{5}$ pour commencer. Attention aux signes !