L'énoncé
\(ABCDEFGH\) est un parallélépipède rectangle tel que \(AB = 4\) cm, \(AE = 3\) cm et \(AD = 6\) cm.
\(S\), \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([EF]\), \([AB]\) et \([DC]\).
Question 1
Donner les dimensions exactes du triangle \(ASB\).
Dans le triangle \(SAE\), rectangle en \(E\), on a d'après la propriété de Pythagore :
\(SE^2+EA^2= SA^2\)
Soit : \(2^2+3^2= SA^2\)
Finalement, on trouve : \(SA = \sqrt{13}\).
Les dimensions du triangle sont donc :
\(AB = 4\) cm
\(SA = \sqrt{13}\) cm
\(SB = \sqrt{13}\) cm
Donner les dimensions signifie donner les longueurs des trois côtés.
\(AB\) est connue. Les deux autres sont égales par symétrie.
Cherche un triangle rectangle pour les trouver.
Question 2
Calculer \(SJ\), puis, à l'aide du triangle \(SIJ\), calculer \(SC\).
Dans le triangle \(SIJ\), on a :
\(SI^2+ JI^2= SJ^2\)
\(SJ = \sqrt{45}=3\sqrt{5}\) cm
Dans le triangle \(SJC\), on a :
\(SC^2= SJ^2+JC^2\)
Soit : \(SC^2=4+45=49\)
Finalement, \(SC = \sqrt{49}=7\) cm
\(SIC\) est aussi rectangle en \(I\).
\(SIJ\) est rectangle en \(I\).
Il faut utiliser la propriété de Pythagore dans deux triangles différents.
Question 3
Quelle est la nature du triangle \(SBC\) ?
On calcule séparément :
\(SC^2=49\) et :
\(SB^2+BC^2=13+36=49\)
Il apparaît que \(SC^2= SB^2+BC^2\) donc daprès la réciproque de Pythagore, le triangle \(SBC\) est rectangle en \(B\).
Tu as sans doute une intuition. Comment la vérifier ?
Comme tu n’as pas vu le cours sur l’orthogonalité de l’espace, tu peux utiliser des outils classiques pour prouver que \(SBC\) est rectangle.
Question 4
Calculer le volume de la pyramide \(SABCD\).
Soit \(V\) le volume cherché :
\(V = \frac{(AB \times BC) \times SI}{3}\)
\(V = 24\) cm\(^3\)
Connais-tu la formule du volume d’une pyramide ? Voir la vidéo dans le chapitre de 3e.
Quelle hauteur vas-tu choisir ? Pas trop difficile...
\(IS\) bien sûr…