L'énoncé
Dans tout cet exercice, on utilise la figure suivante : \(ABCD\) est un rectangle, \(H, F, G\) et \(E\) sont les milieux des cotés du rectangle.
$J$ est le milieu de $[AF]$. On admet qu’il appartient à \((HG)\) (Pas trop difficile à montrer. C’est le théorème de Thalès ! C’est même le milieu de \([HI])\).
Tu as obtenu le score de
Question 1
On se place dans le repère \((A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} )\).
Les coordonnées de \(E\) sont \((0,5 ;0)\).
Les coordonnées de \(E\) sont \((0 ;0, 5)\).
Les coordonnées de \(F\) sont \((2 ;1)\).
Les coordonnées de \(I\) sont \((0,5 ;0,5)\).
Pour visualiser le repère : \(A\) est l’origine et les axes sont les droites \( (AB)\) et \((AD)\) (où la longueur \(AB\) donne l’unité de longueur sur le premier axe et la longueur \(AD\) l’unité pour le deuxième axe).
On peut faire référence à la définition en prenant les décompositions :
Par exemple : \( \overrightarrow{AE}= 0 \overrightarrow{AB} + 0,5 \overrightarrow{AD} \)
On a :
\(\overrightarrow{AE}= 0 \overrightarrow{AB}+ 0,5\overrightarrow{AD}\) donc \(E (0 ;0,5)\)
\(\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HI}=0,5 \overrightarrow{AB} + 0,5 \overrightarrow{AD}\) donc \(I (0,5 ;0,5)\)
Question 2
On se place encore dans le repère \((A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} )\).
Les coordonnées de \(A\) sont \((0 ;0)\).
Les coordonnées de \(D\) sont \((1 ;0)\).
Les coordonnées de \(F\) sont \((1 ;0,5)\).
Les coordonnées de \(J\) sont \((0,5 ;0,27)\).
Pour les coordonnées de \(J\), Vous pouvez avoir une lecture « intuitive » de la figure, mais essayez d’aller un peu plus loin : \(J\) est le milieu de \([AF]\), on a des formules sur les coordonnées du milieu dans une repère ….
On a : \(x_1 = \dfrac{x_A+x_F}{2}\) et \(y_1 = \dfrac{y_A+y_F}{2}\)
Comme \(x_1 = \dfrac{x_A+x_F}{2}\) et \(y_1 = \dfrac{y_A+y_F}{2}\), il vient \(x_1 = \dfrac{0+1}{2} = 0,5\) et \(y_1 = \dfrac{0+0,5}{2}= 0,25\)
Question 3
La décomposition de \( \overrightarrow{HC}\), selon \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) est :
\( \overrightarrow{HC}= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \)
\( \overrightarrow{HC}=\dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{AD} \)
\( \overrightarrow{HC}= \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \)
\( \overrightarrow{HC}= \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{AD} \)
On peut commencer par la relation de Chasles : \( \overrightarrow{HC}= \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BC}\)
Exprimer \(\overrightarrow{HB}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\).
On peut par exemple commencer par une relation de Chasles :
\(\overrightarrow{HC}= \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \)
Question 4
Coche la ou les bonnes réponses.
La décomposition de \( \overrightarrow{HJ}\) selon \(\overrightarrow{HF}\) et \(\overrightarrow{HE} \) est : \( \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{HF} + \dfrac{1}{2}\times \overrightarrow{HE} \)
La décomposition de \( \overrightarrow{HJ}\) selon \(\overrightarrow{HF}\) et \(\overrightarrow{HE} \) est : \( \overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HF} + \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HE} \)
Les coordonnées de \(J\) dans \((H, \overrightarrow{HF}, \overrightarrow{HE} )\) sont \((0,5 ;0,5)\).
Les coordonnées de \(J\) dans \((H, \overrightarrow{HF}, \overrightarrow{HE} )\) sont \((0,25 ; 0,25)\).
\(\overrightarrow{HJ}= \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HG}\)
On décompose \( \overrightarrow{HG}\) et on l’exprime en fonction de \( \overrightarrow{HF}\) et \(\overrightarrow{HE}\).
\(\overrightarrow{HJ}= \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HG}\)
\(\overrightarrow{HJ}= \dfrac{1}{4}\times ( \overrightarrow{HF}+\overrightarrow{FG})\)
\(\overrightarrow{HJ}= \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HF}+ \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{FG}\)
\(\overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HF}+ \dfrac{1}{4}\times \overrightarrow{HE} \)
Ainsi les coordonnées de \(J\) dans \((H, \overrightarrow{HF},\overrightarrow{HE} )\) sont \((0,25 ;0,25)\).
Question 5
On se place dans le repère \((G, \overrightarrow{GI}, \overrightarrow{GC} )\).
Les coordonnées de \(F \) sont \((-1 ;-1)\).
Les coordonnées de \(F \) sont \((1 ;1)\).
Les coordonnées de \(B \) sont \((2 ;1)\).
Les coordonnées de \(J \) sont \((-2 ;1)\).
\(\overrightarrow{GF}= \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC}\) donc les coordonnées de \(F\) sont ...
On peut démarrer sur : \( \overrightarrow{GB}= \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} \)
Exprime \( \overrightarrow{GH}\) en fonction de \(\overrightarrow{GI} \).
La relation \(\overrightarrow{GF}= \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GC}\) permet d’affirmer que les coordonnées de \(F\) sont \((1 ;1)\).
De même : \(\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GH} \)
\(\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{GC} + 2 \overrightarrow{GI} \)
\(\overrightarrow{GB}= 2 \overrightarrow{GI} +\overrightarrow{GC} \)
(on remet les vecteurs dans le même ordre que celui dont est écrit le repère \((G, \overrightarrow{GI},\overrightarrow{GC}\ )
(\overrightarrow{GI}\) est le premier vecteur de base et \(\overrightarrow{GC}\) est le deuxième vecteur de base
Donc les coordonnées de \(B\) sont \((2 ;1)\).
Le plus des bons profs : Pense à bien décomposer en fonction des vecteurs de base : c’est le moyen le plus sûr pour trouver des coordonnées !