Cours L'incontournable du chapitre
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Cours L'incontournable du chapitre
1
Video Vecteurs colinéaires
2
Exercice QCM - Applications de la colinéarité
3
Video Décompositions de vecteurs dans une base
4
Exercice QCM - Décompositions et repères inhabituels
5
Exercice Exercice - Décomposition, points alignés
6
Video Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne
7
Exercice QCM - Vecteurs directeurs : les bases
8
Exercice QCM - Méthodes : équations de droites
9
Exercice Devoir sur feuille
QCM
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.

Tu as obtenu le score de

Question 1

\(D\) est une droite dont léquation sécrit \(2x-3y+c=0\) : (avec \(c\) un réel quelconque).

Un vecteur directeur de \(D\) est \(a= \dfrac{\Delta x}{\Delta y} = -\dfrac{3}{4} \)
Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(D\) passe par le point \(A\left(1 ;-\dfrac{1}{3}\right )\) quelque soit la valeur de \(c\)
\(D\) passe par le point \(A\left(1 ;-\dfrac{1}{3}\right )\) si et seulement si on choisit \(c=-3\)
Pour une équation de droite \(ax+by+c=0\), on a le vecteur directeur: \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\). Avec ici \(a=2\) et \(b=3\) !
Le point \(A\) appartient à \(D\) si et seulement si on a \(2x_A-3y_A+c=0\) : en remplaçant \(x_A\) et \(y_A\) par leur valeur, on pourra trouver l’inconnue \(c\).
Pour les propositions 3 et 4, la méthode est importante, mais basée sur une constatation simple : un point est sur une droite si et seulement si les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite.
Reconnaître le vecteur directeur est une question facile non ?

Question 2

La droite passant par le point \(A (5 ;-4)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 7 \\ -3\end{pmatrix}\) possède pour équation :

\(7x-3y-47=0\)
\(7x+3y-23=0\)
\( -3x-7y-13=0\)
\(12x+28y+52=0\)
Toutes ces droites passent par \(A \)(à vérifier)… Il faut trouver celles qui ont pour vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 7 \\ -3\end{pmatrix}\) (ou un vecteur directeur colinéaire à \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 7 \\ -3\end{pmatrix}\) cela devrait permettre d’écarter quelques propositions.
Avec \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 7\\ -3\end{pmatrix}\) on peu choisir \(b=-7\) et\( a=-3\) : la proposition 3 convient! Y en a t-il d'autre ?
C’est toujours la même chose : une fois qu'on trouve UNE équation cartésienne, on peut trouver toutes les autres en prenant des coefficients proportionnels.
Les équations correctes sont celles de la proposition 3 et 4 (l’équation de la proposition 4 s’obtient en partant de celle de la proposition 3 et en multipliant par \(-4\)).

Question 3

On considère les points \(A(-3 ;4)\), \(B(6 ;0)\). Une équation de la droite \((AB)\) peut s'écrire. (Le calcul des constantes \(c_1,...c_n\) n'est pas demandé.)

\(-4x-9y+c_1=0\)
\(4x+9y+c_2=0\)
\(20x+45y+c_3=0\)
\(4x-9y+c_4=0\)
Pour trouver les coefficients \(a\) et \(b\), on sait qu’on peut passer par un vecteur directeur : par exemple le vecteur , qui est évidemment un vecteur directeur de \((AB)\). Quelles sont ses coordonnées ?
Avec \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 9 \\ -4 \end{pmatrix}\) on voit que l’on peut prendre \( a=-4\) et \(b=-9\) : on peut donc garder la proposition 1. Ensuite cherche parmi celles proposées celles dont les coefficients sont proportionnels à ceux de l’écriture \(-4x-9y+c_1=0\).
Deux points importants ici :
  1. Un vecteur directeur de la droite \((AB)\) est évidemment le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : très simple, mais bien utile…
  2. Une droite \((AB)\) possède une infinité d’équations cartésiennes, toutes proportionnelles entre elles.

Question 4

Soit \(A\) et \(B\) les points de coordonnées \(A (-2 ;3)\) et \(B(4 ;-2)\).

Pour écrire une équation cartésienne de la droite \((AB)\), sous la forme \(ax+by+c=0\), on peut suivre les étapes suivantes :

Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=-5\) et \(b=-6\)
Étape 3 : choisir \(c\) au hasard.

Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=-5\) et \(b=-6\)
Étape 3 : calculer \(c\) en utilisant le fait que les coordonnées de \(A\) doivent vérifier que \(-5x_A-6y_A+c=0\)

Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : en déduire que l’on peut choisir \(a=-5\) et \(b=-6\)
Étape 3 : calculer \(c\) en utilisant le fait que les coordonnées de \(B\) doivent vérifier que \(-5x_B-6y_B+c=0\)

Étape 1 : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\), qui est un vecteur directeur de \((AB)\).
Étape 2 : affirmer que, pour \(M(x ;y)\) un point du plan, on a que : \(M(x ;y)\in (AB) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} \) sont colinéaires.
Étape 3 : En déduire que \(-5(x+2)=6(y-3)\) puis mettre sous la forme \(ax+by+c=0\)

Pour trouver l’équation sous la forme \(ax+by+c=0\), on peut commencer par trouver \(a\) et \(b\), grâce à un vecteur directeur : lequel ?


\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((AB)\) : Quelles valeurs pour \(a\) et \(b\) peut-on choisir ?


Il ne reste que \(c\) à calculer : pour cela, on utilise un point connu de la droite…

Il faut maîtriser au moins une méthode pour trouver une équation cartésienne de droite. Soit celle des propositions 2 et 4, soit celle de la proposition 3.


Pour la proposition 2 et 4 :

Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((AB)\). Donc, on peut choisir : \(–b=6\), soit \(b=-6\) et \(a=-5\).

Étape 2 : On obtient donc une écriture de la forme\(5x-6y+c=0\) , et on cherche à calculer \(c\) : pour cela, on utilise le fait que \(A\) ou \( B\) appartiennent à la droite \((AB)\) :
il suffit de remplacer les coordonnées dans l’écriture ci-dessus :par exemple, \( 5x_A-6y_A+c=0\) (ou évidement \( 5x_B-6y_B+c=0\) si tu choisis le point B comme dan la proposition 4.)

Fais le, on obtient \(10-18+c=0\), d’où \(c =8\).
On a donc entièrement déte

Question 5

Soit \(D\) la droite déquation \(x+3y+1=0\). Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles à \(D\) ?

\(-x+3y+1=0\)
\(-x-3y+1=0 \)
\(x+3y+5=0 \)
\(4x+12y+1=0 \)
À quelle condition sur les vecteurs directeurs deux droites sont-elles parallèles ?
Pour savoir si les droites sont parallèles, il faut voir si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3\\ 1 \end{pmatrix}\) Pour les propositions 2,3,4 on a respectivement les vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -12 \\ 4 \end{pmatrix}\) qui sont tous colineaires à \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\).