Cours L'incontournable du chapitre
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Cours L'incontournable du chapitre
1
Video Vecteurs colinéaires
2
Exercice QCM - Applications de la colinéarité
3
Video Décompositions de vecteurs dans une base
4
Exercice QCM - Décompositions et repères inhabituels
5
Exercice Exercice - Décomposition, points alignés
6
Video Vecteurs directeurs d'une droite et équation cartésienne
7
Exercice QCM - Vecteurs directeurs : les bases
8
Exercice QCM - Méthodes : équations de droites
9
Exercice Devoir sur feuille
QCM
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Cet exercice est un QCM. Coche la ou les bonnes réponses.

Tu as obtenu le score de

Question 1

On note \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ a+2\end{pmatrix}\)
Il n’existe aucune valeur de a pour laquelle les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) soient colinéaires.
Il existe une unique valeur de a pour laquelle les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ a+2\end{pmatrix}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow a(a+2)=-1\) soit \(a^2+2a=1=0\)
On reconnaît une identité remarquable : \((a+1)^2=0\) soit \(a=-1\)
Il existe deux valeurs de a pour laquelle les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires quelque soit \(a\).
\(a\) est solution de \(a^2+2a+1 =0\).
Le recours au discriminant est inutile lorsque tu as comme ici une identité remarquable facile à reconnaître.

Question 2

Dans un repère, on considère les points de coordonnées \(A(-1;4)\) et \(B(2;-1)\). Un seul de ces points \(C\) appartient à le droite \((AB)\), lequel ?
\(C(-4 ;9)\)
On démontre que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -5 \end{pmatrix}\)

Les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\) sont : \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3\\ 5 \end{pmatrix}\)

On a \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}\). Donc \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires et \(A,B\) et \(C\) sont alignés.
\(C(-4 ;-9)\)
\(C(4 ;9)\)
\(C(1 ;1)\)
Tu peux t’aider d’un schéma pour faire le bon choix de point : essaie ensuite d’écrire la démonstration !
Pour savoir si \(C\) appartient à le droite \((AB)\), il faut savoir si \(A, B\) et \(C\) sont alignés. On utilise alors la propriété suivante : \(A,B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Pense au critère de colinéarité sur les coordonnées.
Ici, il faut absolument avoir le réflexe, pour montrer que des points sont alignés, d’utiliser la colinéarité des vecteurs : cette méthode est fondamentale ! Tu pouvais aussi raisonner sur les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (ou tout autre couple de vecteurs écrits à partir des lettres \(A, B\) et \(C\)).

Question 3

Dans un repère, on considère encore les points de coordonnées \(A(-1;4)\) et \(B(2;-1)\) et on note \(E(-2;-1)\). Pour quelles coordonnées de \(D\) peut-on affirmer que les droites \((AB)\) et \((ED)\) sont parallèles ?
\(D(10 ;-21)\)
On démontre que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires.
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -5\end{pmatrix}\).

Les coordonnées de \(\overrightarrow{ED}\) sont : \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 10+2\\ -21+1 \end{pmatrix}\). \(\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix} 12\\ -20 \end{pmatrix}\)

On remarque que \(\overrightarrow{ED}= 4\overrightarrow{AB}\) et on conclut.
\(D(9 ;-13)\)
\(D(12 ;-5)\)
\(D(11 ;9)\)
Pour savoir si deux droites sont parallèles, on utilise la propriété suivante : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{ED}\).
Pense au critère de colinéarité sur les coordonnées.
Là aussi, une méthode très classique et indispensable pour montrer que deux droites sont parallèles ! Bien sûr, si tu testes les autres coordonnées proposées, tu vas trouver des vecteurs non colinéaires à chaque fois.

Question 4

Dans un repère, on considère les points de coordonnées \(A(-1;4)\) et \(B(2;-1)\).

Pour quelle valeur de \(x\) le point \(M\) de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{3} ;x\right)\) appartient-il à le droite \((AB)\) ?

\(x=0\)
\(x=\dfrac{13}{4}\)
\(x=\dfrac{16}{9}\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ -5 \end{pmatrix}\).
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\) sont \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M+1\\ y_B-y_A \end{pmatrix}\)
Ainsi : \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}+1\\ x-4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} \frac{4}{3}\\ x-4 \end{pmatrix}\)

Avec le critère de colinéarité, il vient :
\(M\) appartient à la droite \((AB) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires. \(\Leftrightarrow 3 (x-4) = -5 \times \dfrac{4}{3}\)
On résout :
\(3x-12= -\dfrac{20}{3}\)
\(3x =12-\dfrac{20}{3}\)
\(x = \dfrac{16}{9}\)
\(x=\dfrac{11}{12}\)
Qui dit alignement de points, dit colinéarité de vecteurs : lesquels ?
Exprimez les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}\) (en laissant \(x\)), puis utilisez le critère de colinéarité pour obtenir un équation vérifiée par \(x\) !
On obtient une équation : \( 3 (x-4) = 5 \times \dfrac{4}{3}\) puis on résout !
Très classique : encore une application du critère de colinéarité !

Question 5

\(ABC\) est un triangle. \(D, E\) et \(F\) sont les points définis par : \(\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} \) et \(\overrightarrow{BF} = -2\overrightarrow{BA}\).

Quelles sont les affirmations correctes ?

On a \(\overrightarrow{EF} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}+ 3\overrightarrow{AB} \)

On a \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Avec la relation de Chasles (appliquée deux fois) et les hypothèses de l’énoncé on a : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BA} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AB} \).
On a aussi que : \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DA} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

On a \(\overrightarrow{EF}= 3\overrightarrow{DE}\)

Avec la relation de Chasles (appliquée deux fois) et les hypothèses de l’énoncé on a : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AB}-2 \overrightarrow{BA} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AB} \).
On a aussi que : \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DA} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
On calcule maintenant \(3\overrightarrow{DE}\) :
\(3\overrightarrow{DE} = 3(\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = 3\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EF} \)
On conclut que \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{ED}\) sont colinéaires et que donc \(E, F\) et \(D\) sont alignés.

Les points \(E, F\) et \(D\) sont alignés.

Une figure peut aider.

La difficulté réside ici dans les calculs sur les vecteurs : on cherche toujours à utiliser les hypothèses de l’énoncé, combiné à la relation de Chasles pour arriver à la relation demandée.