L'énoncé
Cet exercice est un QCM. Cocher la ou les bonnes réponses.
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Question 1
On a relevé ci-dessous le prix d'un même article dans différents magasins d'une grande ville :
| Prix (en euros) | 14 | 15 | 15,5 | 16 | 16,5 | 17 | 18 |
| Nombre de magasins | 16 | 30 | 40 | 89 | 74 | 32 | 29 |
L’étendue de cette série est 18.
L’étendue de cette série est 4.
La médiane est 15,5.
La médiane est 16.
Étendue = \(V_{max} - V_{min}\)
Trouve l’effectif total : est-il pair ou impair ?
L’effectif total est $310$ : utiliser la règle de calcul de la médiane.
Il faut prendre la valeur de rang 155 et de rang 156 et en faire la demi-somme.
L’étendue est 18 - 14 = 4 euros. (Proposition 1 fausse et 2 vraie.)
L’effectif total est $310$ magasins (nombre pair) : on a \(\dfrac{310}{2}=155\).
Il faut alors prendre la valeur de rang $155$ et de rang $156$ et en faire la demi-somme.
En additionnant les effectifs, on obtient que :
$16 + 30 + 40 = 86$ (nombre de valeurs inférieures à $15,5$) et
$16 + 30 + 40 + 89 = 175$ (nombre de valeurs qui sont inférieures $16$).
Les valeurs de rang $155$ et $156$ sont toutes les deux 16. Donc \(M_e=16\) euros. (Proposition 4 vraie.)
On peut directement dresser le tableau contenant les effectifs cumulés croissants : cela est utile pour les calculs de la médiane et des quartiles.
Ici, c’est :
Effectifs cumulés croissants :
| Prix (en euros) |
Question 2
On a relevé ci-dessous le prix d'un même article dans différents magasins d'une grande ville :
| Prix (en euros) | 14 | 15 | 15,5 | 16 | 16,5 | 17 | 18 |
| Nombre de magasins | 16 | 30 | 40 | 89 | 74 | 32 | 29 |
Le premier quartile est 15 euros.
Le premier quartile est 15,5 euros.
Au moins trois quarts des magasins étudiés proposent un prix inférieur à 16,5 euros.
La moitié des magasins proposent un prix compris entre 15 et 16,5 euros.
On commence par l’effectif total…
Ici, \(N=310\). Pour trouver les quartiles, on doit calculer \(\frac{ N}{4}\) et \(\frac{ 3N}{4}\).
Ne pas oublier d’arrondir à l’entier juste supérieur.
Pour la proposition 3, on doit repérer qu’il est question du troisième quartile.
Pour la proposition 4, tu dois repérer qu’il est question de l’intervalle interquartile.
On a \(N=310\). Pour trouver les quartiles, on calcule \(\dfrac{N}{4}\) et \(\dfrac{3N}{4}\), puis on arrondit à l’entier supérieur :
\(\dfrac{N}{4}= 77,5\) et \(\dfrac{3N}{4}=232,5\).
Le premier quartile est la valeur de rang 78 : \(Q_1=15,5\) euros.
Le troisième quartile est la valeur de rang 233 : \(Q_3=16,5\) euros.
(Propositions 2 et 3 vraies.)
L’intervalle interquartile est \([15,5 ;16,5]\). (Proposition 4 fausse.)
Question 3
Une compagnie vendant des forfaits internet étudie le temps d'attente au téléphone de ses clients lorsqu'il contacte l'aide téléphonique :
| Temps (en minutes) | [0 ;2[ | [2 ;4[ | [4 ;6[ | [6 ;8[ | [8 ;10[ |
| Nombre de clients | 10 | 15 | 5 | 25 | 5 |
L’étude porte sur 100 utilisateurs.
L’étude porte sur 60 utilisateurs.
25 clients attendent moins de 4 minutes.
L’effectif cumulé croissant de la valeur 6 est 30.
Le nombre de clients attendant moins de 4 minutes est 10 + 15 …
Pour trouver l’effectif cumulé croissant de 6, il suffit d’additionner les effectifs correspondants aux valeurs inférieures à 6.
L’effectif cumulé croissant de 6 est donc 10 + 15 + 5.
Effectif total = 10 + 15 + 5 + 25 + 5 = 60 clients. (Proposition 2 vraie.)
Le nombre de clients attendant moins de 4 minutes est 10 +15 = 25. (Proposition 3 vraie.)
L’effectif cumulé croissant de 6 est donc 10 + 15 + 5 = 30. (Proposition 4 vraie.)
Question 4
On reprend létude de la question 4 sur le temps dattente au téléphone des clients de cette compagnie. Les données sont :
| Temps (en minutes) | [0 ;2[ | [2 ;4[ | [4 ;6[ | [6 ;8[ | [8 ;10[ |
| Nombre de clients | 10 | 15 | 5 | 25 | 5 |
Si on rajoute la ligne donnant les effectifs cumulés croissants, on obtient :
Effectifs cumulés croissants :
| Temps (en minutes) | [0 ;2[ | [2 ;4[ | [4 ;6[ | [6 ;8[ | [8 ;10[ |
| Nombre de clients | 10 | 15 | 5 | 25 | 5 |
| Effectifs cumulés croissants | 10 | 25 | 30 | 55 | 60 |
Un quart des clients attendent moins de 4 minutes.
Pour construire le diagramme des effectifs cumulés croissants, on place dans un repère les points de coordonnées (1 ; 10) (3 ; 25) (5 ; 30) (7 ; 55) (9 ; 60).
Pour construire le diagramme des effectifs cumulés croissants, on place dans un repère les points de coordonnées (2 ; 10) (4 ; 25) (6 ; 30) (8 ; 55) (10 ; 60).
Effectifs cumulés croissants : comme son nom l’indique, il suffit de sommer au fur et à mesure les effectifs…
Pour la proposition 2, ne pas oublier que l’effectif total est 60.
Pour la proposition 3, on ne prend jamais le centre.
Pour trouver les effectifs cumulés croissants, il suffit d’additionner au fur et à mesure les effectifs. (Proposition 1 vraie.)
25 clients attendent moins de 4 minutes, mais ils ne représentent pas 25% de la population totale (25% de 60 vaut 15….). (Proposition 2 fausse.)
Pour obtenir le diagramme des effectifs cumulés croissants tu prends en abscisse la valeur de droite de la classe (2 pour la première classe qui est [0 ; 2[) puis en ordonnée tu mets l’effectif cumulé correspondant :
Le premier point est donc (2 ; 10). Même technique pour les autres points !
Il faut retenir la méthode pour construire le diagramme des effectifs cumulés croissants : l’abscisse s’obtient en prenant la valeur de droite de la classe (par exemple, dans la classe [2 ; 4[, c’est 4), et l’ordonnée correspondante est l’effectif cumulé croissant associ&ea
Question 5
On donne le diagramme des effectifs cumulés croissants de la série statistique étudiée aux questions 3 et 4 :
La médiane est 6.
Le premier quartile est environ 2,6.
Le troisième quartile est environ 7,25.
Les trois quarts de clients attendent moins de 7 minutes 25.
Pour lire la médiane avec ce type de diagramme, il faut calculer \(\dfrac{N}{2}\), et placer ce nombre sur l’axe des ordonnées…
\(\dfrac{N}{2}=30\). On place 30 sur l’axe des ordonnées et on lit l’abscisse correspondante : c’est la médiane !
Même technique pour la lecture des quartiles, avec \(\dfrac{N}{4}\) ou \(\dfrac{3N}{4}\).
Attention à la conversion en heures-minutes.
\(\dfrac{N}{2}=30\). On place 30 sur l’axe des ordonnées et on lit l’abscisse correspondante : 6 : c’est la médiane ! (Proposition 1 vraie.)
Pour le premier quartile : \(\dfrac{N}{4} =\dfrac{60}{4}=15\).
On place 15 sur l’axe des ordonnées et on lit l’abscisse correspondante : c’est 2,6 environ. (Proposition 2 vraie.)
Pour le troisième quartile : \(\dfrac{3N}{4} =\dfrac{180}{4}=45\).
On place 45 sur l’axe des ordonnées et on lit l’abscisse correspondante : c’est 7,25 environ. (Proposition 3 vraie.)
La proposition 4 est fausse : c’est 7 minutes et 15 secondes environ.
Tu peux même faire un calcul exact des quartiles :
Pour le premier quartile par exemple, on trouve d’abord \(\dfrac{N}{4} = 15 \)
On cherche donc l’abscisse \(x\) correspondant à cette ordonnée : le point est sur la droite