L'énoncé
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Question 1
La méthode de résolution par combinaison consiste à :
isoler une variable dans une équation puis injecter sa valeur dans l'autre équation
résoudre séparément chaque équation puis combiner le résultat
soustraire une des équations à l'autre afin de simplifier une des inconnues
En effet, en multipliant une équation, on essaie d'obtenir le même coefficient multiplicateur devant une même inconnue dans les deux équations puis on soustrait une des équations à la deuxième afin de simplifier cette inconnue. On obtient alors une équation à une inconnue que l'on sait résoudre !
On pourra revoir le cours au besoin.
Question 2
Dans ce système d'équations, quel est le meilleur choix de variable à simplifier ?
$\left \{ \begin{array}{l} 4x - 2y = 4 \\ 3x + y = - 6 \end{array} \right.$
$x$
$y$
En effet, on remarque que dans l'une des équations, le coefficient multiplicateur de $y$ est $1$. Ainsi, en multipliant par $(-2)$ cette équation on obtient le coefficient $-2$ devant la variable $y$ dans les deux équations, en ayant fait qu'une multiplication d'équation !
On ne peut pas savoir avant d'avoir la solution
On pourra se demander comment obtenir de la façon la plus rapide le même coefficient multiplicateur devant une même variable.
Question 3
On considère ce système d'équations :
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 2y = 4 \\ -3x + y = 2 \end{array} \right.$
Quelle est l'étape suivante en résolvant ce système par combinaison ?
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 2y = 4 \\ -3x + 2y = 2 \end{array} \right.$
On ne peut pas multiplier uniquement la variable $y$ car ce n'est plus le même système d'équations.
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 2y = 4 \\ -6x + 2y = 2 \end{array} \right.$
Il faut multiplier à gauche et à droite pour conserver l'égalité !
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 2y = 4 \\ -6x + 2y = 4 \end{array} \right.$
C'est en effet la bonne réponse !
Tout d'abord, on remarque que dans cette deuxième équation, le coefficient multiplicateur devant $y$ est $1$. On choisit donc la variable $y$. Pour obtenir le même coefficient multiplicateur devant $y$, on multiplie par $2$ cette équation, à gauche et à droite pour préserver l'égalité !
On pourra d'abord se demander quelle variable on choisit de simplifier ....
... puis par quel coefficient multiplier les équations pour obtenir le même nombre devant cette variable.
Question 4
On considère ce système d'équations :
$\left \{ \begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ -2x + 4y = 2 \end{array} \right.$
Choisir le ou les systèmes qui est/sont en train d'être résolu(s) avec la méthode par combinaison.
$\left \{ \begin{array}{l} -2x -6y = -10 \\ 10 y = 12 \end{array} \right.$
En effet, considérons le système d'équations :
$\left \{ \begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ -2x + 4y = 2 \end{array} \right.$
On remarque que le choix de la variable $x$ à simplifier est le plus facile car dans une des équations, le coefficient multiplicateur de $x$ est $1$. En multipliant la première équation par $-2$ on obtient le même coefficient :
$\left \{ \begin{array}{l}(-2)( x + 3y) =(-2) \times 5 \\-2x + 4y = 2 \end{array} \right.$
On obtient alors :
$\left \{ \begin{array}{l} -2x - 6y = -10 \\ -2x + 4y = 2 \end{array} \right.$
En soustrayant la première à la deuxième on obtient :
$\left \{ \begin{array}{l}-2x - 6y = -10 \\ 10x = 12 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} x = 5 - 3y \\ -2(5 - 3y) + 4y = 2 \end{array} \right.$
On utilise ici la méthode par substitution.
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 12y = 20 \\ -6x + 12y = 6 \end{array} \right.$
En effet, considérons le système d'équations :
$\left \{ \begin{array}{l} x + 3y = 5 \\ -2x + 4y = 2 \end{array} \right.$
On remarque que le choix de la variable $x$ à simplifier est le plus facile mais il est possible d'obtenir un même coefficient multiplicateur devant $y$. Ici, on l'obtient en multipliant la première équation par $4$ et la seconde par $3$ : on obtient alors $12$ devant $y$. Il ne faut pas oublier de multiplier toute l'équation pour conserver l'égalité :
$\left \{ \begin{array}{l}4( x + 3y) =4 \times 5 \\ 3(-2x + 4y) = 3 \times 2 \end{array} \right.$
On obtient alors :
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 12y = 20 \\ -6x + 12y = 6 \end{array} \right.$
En soustrayant la première à la deuxième on obtient :
$\left \{ \begin{array}{l} 4x + 12y = 20 \\ -10x = -14 \end{array} \right.$
On pourra d'abord se demander quelle variable on choisit de simplifier puis par quel coefficient on multiplie chaque équation pour obtenir le même nombre devant cette variable ...
On se rappellera aussi que l'on peut choisir de simplifier une des deux variables, même si il peut exister un choix permettant de réaliser moins de calculs.
Question 5
On considère ce système d'équations :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 8 \\ -2x + 4y = -1 \end{array} \right.$
Quel est le couple solution de ce système ?
$\left ( \dfrac{5}{2}; 1 \right )$
C'est en effet le couple solution.
On remarque que le coefficient multiplicateur de $x$ est le même dans les deux équations au signe près. On ajoute donc la première équation à la seconde :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 8 \\ -2x + 4y + (2x + 3y) = -1 + 8 \end{array} \right.$
Après simplification on obtient :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 8 \\ 7y = 7 \end{array} \right.$
On trouve ainsi la valeur de $y$ :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 8 \\ y = 1 \end{array} \right.$
Puis on reporte cette valeur dans la première équation :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x + 3\times 1 = 8 \\ y = 1 \end{array} \right.$
On isole $x$ :
$\left \{ \begin{array}{l} 2x = 8 - 3 \\ y = 1 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} 2x = 5 \\ y = 1 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} x = \dfrac{5}{2} \\ y = 1 \end{array} \right.$
Le couple solution est donc $\left ( \dfrac{5}{2}; 1 \right )$
$\left (1; \dfrac{5}{2} \right )$
On donne la réponse sous la forme $(x; y)$.
$\left ( \dfrac{35}{2}; -9 \right )$
On résoudra ce système par combinaison ...
... en remarquant que le coefficient multiplicateur de $x$ est le même dans les deux équations au signe près.
Cela n'est pas possible car chaque équation possède deux inconnues. Il faut résoudre le système pour trouver la solution, c'est à dire utiliser les deux équations ensembles.