L'énoncé
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Question 1
En quoi consiste la méthode de résolution par substitution ?
On résout séparément chacune des deux équations.
On isole une des variables dans une des équations puis on remplace par l'expression ainsi trouvée cette même variable dans l'autre équation.
On soustrait une des équations pour éliminer une des variables.
C'est la méthode par combinaison.
On pourra revoir le cours au besoin.
Question 2
Trouver le ou les système(s) dont la résolution est correcte !
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \\ 2x + 4y = 9 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} y = 3 - 3x \\ 2x + 3 - 3x = 9 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \\ 2x + 4y = 9 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x \\ 2x + 4(3 - 3x)= 9 \end{array} \right.$
En effet, on remarque que l'on a isolé $y$ dans la première équation. Ce choix s'explique par le coefficient multiplicateur $1$ devant $y$ qui permet d'obtenir directement la valeur de $y$ en fonction de $x$ sans avoir à diviser. On remplace ensuite la valeur ainsi trouvée dans la seconde équation.
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \\ 2x + 4y = 9 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x \\ 10x = 3 \end{array} \right.$
En effet, on remarque que l'on a isolé $y$ dans la première équation. Ce choix s'explique par le coefficient multiplicateur $1$ devant $y$ qui permet d'obtenir directement la valeur de $y$ en fonction de $x$ sans avoir à diviser. On remplace ensuite la valeur ainsi trouvée dans la seconde équation.
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + y = 3 \\ 2x + 4y = 9 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x \\ 2x + 4(3 - 3x)= 9 \end{array} \right.$
On développe ensuite l'expression entre parenthèses :
$\left \{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x \\ 2x + 12 - 12x = 9 \end{array} \right.$
Puis on simplifie l'expression :
$\left \{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x \\ 10x = 3 \end{array} \right.$
On pourra d'abord se demander quelle variable est la plus facile à isoler.
Question 3
Trouver le ou les système(s) dont la méthode de résolution est par substitution.
$\left \{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} x = 3 + 2y \\ 2(3 + 2x) + 3y= 7 \end{array} \right.$
En effet, on remarque que l'on a isolé $x$ dans la première équation. Ce choix s'explique par le coefficient multiplicateur $1$ devant $x$ qui permet d'obtenir directement la valeur de $x$ en fonction de $y$ sans avoir à diviser. On remplace ensuite la valeur ainsi trouvée dans la seconde équation.
$\left \{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} 2x - 4y = 6 \\ 2x + 3y - (2x -4y)= 7 - 6 \end{array} \right.$
On utilise ici la méthode par combinaison.
$\left \{ \begin{array}{l} x - 2y = 3 \\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.$
$\left \{ \begin{array}{l} x - \dfrac{2}{3}( 7 - 2x) = 3\\ y =\dfrac{1}{3}( 7 - 2x) \end{array} \right.$
En effet, on remarque que l'on a isolé $y$ dans la seconde équation. Ce choix n'est pas le plus simple car on remarque que l'on doit diviser par $3$ pour isoler $y$. Cependant, en poursuivant la résolution selon ce choix, on trouve la même solution finale !
On regardera si la résolution se fait en isolant une variable dans une équation du système.
Question 4
En utilisant la méthode par substitution, résoudre le système suivant.
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 2 \\ 2x + y = 4 \end{array} \right.$
$(6; -8)$
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 2 \\ 2x + y = 4 \end{array} \right.$
On isole $y$ dans la deuxième équation car c'est la seule variable dont le coefficient multiplicateur est $1$.
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 2 \\ y = 4 - 2x \end{array} \right.$
On remplace la valeur trouvée dans la première équation
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + 2( 4 - 2x )= 2 \\ y = 4 - 2x \end{array} \right.$
Puis on développe l'expression entre parenthèses :
$\left \{ \begin{array}{l} 3x + 8 - 4x = 2 \\ y = 4 - 2x \end{array} \right.$
On obtient en regroupant les termes l'expression de $x$ :
$\left \{ \begin{array}{l} x = 6 \\ y = 4 - 2x \end{array} \right.$
On remplace $x$ par sa valeur dans la deuxième équation :
$\left \{ \begin{array}{l} x = 6 \\ y = 4 - 2 \times 6 \end{array} \right.$
Le couple solution est donc $(6; -8)$
$(-8; 6)$
On donne le couple sous la forme $(x; y)$
$\left ( \dfrac{6}{7}; \dfrac{40}{7} \right)$
On commencera par trouver quelle variable isoler...
... puis on remplacera par la valeur ainsi trouvée dans l'autre expression
Question 5
A quoi sert la méthode de résolution par substitution ?
Elle permet d'obtenir de combiner les deux équations en une unique.
On ne peut pas résoudre le système avec une seule équation
Elle permet d'éliminer une des variables dans une équation.
En effet, après avoir isolé une variable dans une équation et remplacé sa valeur dans la deuxième, cette deuxième équation s'écrit alors seulement avec une variable, ce qui peut être résolu avec les méthodes déjà connues.
Elle permet d'obtenir un système à trois équations.
On pourra se demander ce que l'on obtient après avoir isolé une variable dans une équation et remplacé sa valeur dans la deuxième.
C'est en effet la description de la méthode de résolution par substitution.