L'énoncé
Une carabine à injection lance des projectiles composés d'une seringue contenant un médicament. L'intérêt de la méthode est surtout d'administrer commodément et de loin un tranquillisant ou un médicament à un animal indocile.
Cette carabine à injection a une masse de \(m_c = 4 kg\), elle est initialement immobile puis expulse un dard tranquillisant de \(m_d = 20 g\) avec une vitesse horizontale \(v_d\) de 1000 m.s-1.
On désire déterminer la vitesse de recul de la carabine \(v_c\) et comparer les énergies cinétiques du dard et de la carabine immédiatement après le tir.
Question 1
Calculer la quantité de mouvement du dard à sa sortie de la carabine.
La quantité de mouvement du dard est, par définition :
\(\overrightarrow{p}_d = m_d \times \overrightarrow{v}_d\)
Application numérique :
\(p_d = (20. 10^{-3}) \times 1000 = 20 kg.m.s^{-1}\)
La valeur de la quantité de mouvement du dard est de 20 kg.m.s-1.
Le vecteur quantité de mouvement noté \(\overrightarrow{p}(t)\) d’un objet à l’instant \(t\) est le produit de sa masse \(m\) par le vecteur \(\overrightarrow{v}\) de son centre d’inertie. Son intensité ou sa valeur s’exprime en kg.m.s-1.
Exprimer la quantité de mouvement vectoriellement puis calculer sa valeur numérique en faisant attention aux unités.
Question 2
Le système étudié est composé de la carabine et du dard, ce système est supposé isolé avant et après le tir.
Justifier le qualificatif « isolé » et apporter un rectificatif.
Un système est dit « isolé » s'il n'est soumis à aucune action mécanique extérieure.
Sur Terre, il n'existe pas de système isolé, puisque tout objet est soumis à l'action de la Terre. Il faut donc rectifier ici l'énoncé en parlant de système pseudo-isolé. Un système est pseudo-isolé si les actions mécaniques qui s'exercent sur lui se compensent.
Définir ce qu’est un système « isolé » du point de vue de la mécanique de Newton.
Un système est dit « isolé » s’il n’est soumis à aucune action mécanique extérieure.
Sur Terre, tout objet est soumis à plusieurs actions mécaniques dont obligatoirement l’action de la Terre sur l’objet appelée son poids.
On parlerait plutôt ici de système « pseudo-isolé » ; pourquoi ?
Question 3
Déterminer la vitesse \(v_c\) de recul de la carabine.
Le système étudié est constitué de la carabine et du dard, il est « pseudo-isolé » donc sa quantité de mouvement se conserve.
Avant le tir : Le système étudié est immobile, la quantité de mouvement est donc nulle :
\(\overrightarrow{P}_{avant} = \overrightarrow{0}\)
Après le tir : La quantité de mouvement du système est égale à la somme des quantités de mouvement du dard et de la carabine :
\(\overrightarrow{P}_{après} = \overrightarrow{P}_c + \overrightarrow{P}_d\)
Dans le référentiel Terrestre, supposé galiléen, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
\(\overrightarrow{P}_{avant} = \overrightarrow{P}_{après}\)
Soit \(\overrightarrow{0} = \overrightarrow{P}_c + \overrightarrow{P}_d\)
On en déduit que \(\overrightarrow{P}_c = -\overrightarrow{P}_d\)
Donc \(m_c \times \overrightarrow{v}_c = -m_d \times \overrightarrow{v}_d\)
Soit \(\overrightarrow{v}_c = -\frac{m_d}{m_c} \times \overrightarrow{v}_d\)
La vitesse de la carabine possède la même direction que la vitesse du dard, mais elle est de sens opposé au sens de la vitesse du dard.
Sa valeur est \(v_c = \dfrac{m_d}{m_c} \times v_d\)
Application numérique : \(v_c = \dfrac{20 \times 10^{-3}}{4} \times 1000\)
Donc \(v_c = 5 m.s^{-1}\)
Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est constant.
La question précédente aide à déterminer à quel système on va appliquer la conservation de la quantité de mouvement (ce système doit forcément contenir la carabine).
Le système pseudo-isolé qui est étudié est la carabine avec son dard. On doit alors identifier l’étape dans laquelle la vitesse de recul de la carabine intervient.
Comme la vitesse de recul de la carabine intervient après le tir, on va utiliser la loi de conservation du vecteur quantité de mouvement pour comparer la quantité de mouvement avant et après le tir et ainsi en déduire la vitesse de recul de la carabine.
Comparer avec la situation avant le tir, car c’est la seule connue et la plus
Question 4
Comparer les énergies cinétiques du dard et de la carabine immédiatement après le tir.
Par définition, l'énergie cinétique est : \(E_c = \dfrac{1}{2} m.v^2\)
On note \(E_{cc \ après}\) l'énergie cinétique de la carabine après le tir, donc :
\(E_{cc \ après} = \dfrac{1}{2} \times m_c \times v^2_{c \ après}\)
\(E_{cc \ après} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times (5)^2\)
\(E_{cc \ après} = 50 \ J\)
On note \(E_{cd \ après}\) l'énergie cinétique du dard après le tir, donc :
\(E_{cd \ après} = \dfrac{1}{2} \times m_d \times v^2_{d \ après}\)
\(E_{cd \ après} = \dfrac{1}{2} \times (20.10^{-3}) \times (1000)^2\)
\(E_{cd \ après} = 10 \ 000 \ J\)
On calcule alors le rapport entre les deux :
\(\dfrac{E_{cd \ après}}{E_{cc \ après}} = 200 \)
Il y a 200 fois plus d'énergie cinétique dans le dard que dans la carabine.
L’énergie cinétique d’un solide en translation est l’énergie qu’il possède du fait de son mouvement ; elle est définie par la relation :
\(E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2\)
Avec \(E\) exprimée en Joule (J) ; la masse \(m\) en kg et la vitesse \(v\) en m.s-1.
Calculer l’énergie cinétique de chacun (dard et carabine) après le tir en repérant bien les vitesses de chacun puis les comparer.
Quand on demande de comparer, il faut souvent déterminer un rapport.