L'énoncé
Nous allons ici nous intéresser au mouvement d'un satellite autour d'une planète, et plus précisément de la Terre autour du Soleil et de la Lune autour de la Terre. Le but de cet exercice sera d'identifier les différentes forces présentes dans le système solaire, et d'analyser leur influence sur les corps célestes.
Question 1
Rappeler les trois lois de Newton.
1) Tout objet non soumis à des forces conserve son état de repos ou de translation rectiligne uniforme.
2) (Principe fondamental de la dynamique) : $\displaystyle\sum \vec{F}=m.\vec{a}$
3) (Principe des actions réciproques) : Tout objet $A$ subissant une force $\vec{F}$ d'un objet $B$ exerce sur cet objet une force $-\vec{F}$, de même direction, même intensité, et sens opposé.
Question 2
Rappeler la formule permettant de calculer l'intensité de la force de gravitation entre deux corps $A$ et $B$ ; donner la signification des termes qui la composent.
Donner les autres caractéristiques de cette force (direction, sens, point d'application) pour un corps la subissant.
On a $F_{A/B} =G\times\dfrac{ M_A\times M_B}{d^2}$, avec $G$ la constante universelle de gravitation, $M_A$ et $M_B$ les masses des deux corps, et $d$ la distance séparant leurs centres de gravité.
Le poids s'appliquent sur le centre de gravité de l'objet qui le subit, a pour direction la droite passant vers les deux centres de gravité, et est dirigée vers l'objet exerçant la force.
Question 3
On se place désormais dans le système composé de la Terre, la Lune, et le Soleil. On donne :
$G = 6.67\times 10^{-11}$ (SI)
$M_{terre} = 5.97\times 10^{24}$ kg, $M_{lune} = 7.34\times 10^{22}$ kg, $M_{soleil} = 1.99\times 10^{30}$ kg
$d_{terre-lune} = 384\times 10^6$ m, $d_{terre-soleil} = 150\times 10^9 $m
En supposant que l'orbite de la Terre forme un cercle autour du Soleil, et que celle de la Lune forme également un cercle autour de la Terre, donner une valeur approximative de la distance Lune-Soleil à partir des distances Terre-Soleil et Terre-Lune.
Si les orbites forment des cercles, alors les distances en tout point de cette orbite sont les mêmes entre le corps tournant et le corps au centre. La distance Terre-Soleil est donc constante, et vaut $150\times 10^9$ m.
Si la Lune tourne autour de la Terre de manière circulaire, les deux distances extrêmes entre le Soleil et la Lune sont atteintes lorsque les trois corps sont alignés, avec l'alignement Soleil-Terre-Lune pour la plus grande distance, et Soleil-Lune-Terre pour la plus petite.
Or on a $d_{terre-lune} = 384 \times 10^6$ m, et $d_{soleil-terre} = 150 \times 10^9$ m.
La distance Soleil-Terre est environ 390 fois supérieure à la distance Terre-Lune donc la distance Lune-Soleil est environ égale à la distance Soleil-Terre.
Question 4
Etudions tout d'abord la Terre. Au vu des valeurs fournies, calculer les intensités des forces de gravitation de la Lune et du Soleil.
En vous basant sur le principe fondamental de la dynamique, conclure sur l'influence des deux corps sur la trajectoire de la Terre.
On applique la formule $F_{\frac{A}{B}} =G\times\dfrac{ M_A\times M_B}{d^2}$ :
$F_{soleil-terre} = 3.52 \times 10^{22}$ N et
$F_{lune-terre} = 1.98 \times 10^{20}$ N
On en déduit que la force de gravitation exercée sur la terre par le Soleil est plus de cent fois supérieure à celle exercée par la Lune. Ainsi, le Soleil aura beaucoup plus d'influence sur la trajectoire de la Terre que la Lune.
Question 5
Sans calcul, donner l'intensité de la force exercée par la Terre sur la Lune. Calculer ensuite l'intensité de la force du Soleil sur la Lune.
Effectuer le même raisonnement que précédemment : comparer les intensités des deux forces exercées par la Terre et le Soleil sur la Lune, et conclure sur la trajectoire de la Lune.
D'après le principe des actions réciproques, on a $F_{terre-lune} = F_{lune-terre} = 1.98 \times 10^{20}$ N.
On calcule $F_{soleil-lune} = 4.33 \times 10^{20}$ N.
Ces deux forces ont le même ordre de grandeur (du simple au double)
On observe cette fois-ci que la trajectoire de la Lune est influencée de manière équivalente par la Terre et le Soleil.
Question 6
La force de pesanteur de la Terre, encore appelée poids, est en fait une approximation de la force de gravitation au voisinage de la Terre, c'est-à-dire à une hauteur proche de sa surface. Dans cette approximation, on considère que l'objet qui subit le poids se trouve à la surface même de la Terre, soit à une distance du centre de la Terre égale au rayon de cette dernière : $R_{terre} = 6371 \times 10^3 $m.
Le poids a une intensité admettant une expression de la forme : $P = m \times g,$ avec $m$ la masse de l'objet et $g$ l'accélération de la pesanteur terrestre.
Déduire de l'explication ci-dessus l'expression de $g$ en fonction des grandeurs, et calculer sa valeur.
Selon ce qui a été expliqué en introduction, le poids a la même expression que la force de gravitation exercée par la Terre sur un objet à sa surface. L'expression de cette force de gravitation est $F =G\times\dfrac{ m_{terre}\times m}{R_{terre}^2}$, avec $m$ la masse de l'objet. Par identification, on a :
$G\times\dfrac{ m_{terre}\times m}{R_{terre}^2}=mg$
$\iff g = \dfrac{G\times m_{terre}}{R_{terre}^2}$
On obtient $g \approx 9.81$ m/s².
Question 7
En négligeant tout frottement de l'air, par exemple en se plaçant dans une cloche à vide, comparer en vous servant du principe fondamental de la dynamique l'accélération subie par une boule de bowling de $10$ kg et celle subie par une plume de $10$ g.
Dire alors quel objet tombera le plus vite vers la terre.
Si on néglige les frottements, la seule force influençant les trajectoire sera le poids, d'expression $P = m\times g$.
Or, le principe fondamental de la dynamique relie la somme des forces et l'accélération par la formule $F = m\times a$.
Ici on a donc $F = m\times g,$ et en simplifiant, $g = a$.
Ainsi, l'accélération en l'absence de frottement ne dépend pas de l'objet, et est constante quel que soit l'objet chutant.
Les vitesses de chute seront donc égales.