L'énoncé
Soit \(A\) la matrice suivante : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).
Question 1
Calculer \(A^2\).
\(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)
\(A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\)
\(A^2 = 5\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(A^2 = 5I_2\) où $I_2$ est la matrice identité de rang 2.
Il s'agit d'un produit de 2 matrices. La méthode est à connaître par coeur.
Question 2
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(A^{2n} = 5^nI_2\)
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(A^{2n} = 5^nI_2\).
Initialisation : \(n=0\).
\(A^0 = I = 5^0I_2\)
La propriété est vraie au rang \(n = 0\).
Hérédité : Supposons qu'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(A^{2k} = 5^{k}I_2\) .
\(A^{2(k+1)} = A^{2k+2}\)
\(A^{2(k+1)} = A^{2k}A^2\)
\(A^{2(k+1)} = 5^k I_2\times 5I_2\)
\(A^{2(k+1)} = 5^{k+1}{I_2}^2\)
Or ${I_2}^2=I_2$ donc
$A^{2(k+1)} = 5^{k+1}I_2$
Donc si \(A^{2k} = 5^kI_2\), alors \(A^{2(k+1)} = 5^{k+1}I_2\) et l'hérédité est vérifiée.
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(A^{2n} = 5^nI_2\)
Savez-vous faire une démonstration par récurrence ? Vous pouvez revoir la méthode dans le chapitre des suites.
La récurrence se fait en 2 phases : l'initialisation et l'hérédité.
En phase d'initialisation, on vérifie que la propriété est vraie au rang \(0\).
Puis en phase d'hérédité, on pose que la propriété est vrai au rang \(n\) et on regarde si elle est vraie au rang \(n+1\).
Ici, phase d'initialisation, est-ce que \(A^{5\times 0} = 5^0 \times I_2 \) ?
En phase d'hérédité, on pose que la propriété est vraie au rang \(n\) et on essaie de montrer qu'alors \(A^{2(n+1)} = 5^{n+1}I_2\).
Question 3
Calculer \(A^{2012}\).
\(A^{2012} = A^{2 \times 1006}\)
\(A^{2012} = 5^{1006}I_2\)
\(A^{2012} = \begin{pmatrix} 5^{1006} & 0 \\ 0 & 5^{1006} \end{pmatrix}\)
Là, il suffit d’utiliser la question précédente ! \(A^{2012} = A^{2 \times 1006}\).
Servez-vous de la formule obtenue à la question précédente pour conclure !