Fiche de cours
Matrice inverse
Définition
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d'ordre $n$.
S'il existe une matrice $B$ tel que :
$A \times B= B \times A= I_n$,
Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.
Propriété
Soit $A =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}$ une matrice carré d'ordre $2$
Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :
$A^{-1} = \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a\\
\end{pmatrix}$
Exemple
Soit $M =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$.
Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Correction
On calcule :
$ad-bc = 2 \times 1 - (-1)\times3 =5$
$ad-bc \neq 0$ $M$ est donc inversible.
Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$
On a:
$M^{-1} = \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$ $\iff$ $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm]
-\dfrac{3}{5}