Produit de matrices

Produit de matrices

Définition

Soit $A$ une matrice $(n\times p)$.

Soit $B$ une matrice $(p\times m)$.

Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

Exemple

 Soit $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 2\\
\end{pmatrix} $ une matrice $(2\times 3)$ et 

$B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\
2 & 0\\
-1 & 3\\\end{pmatrix} $ une matrice $(3\times 2)$ 

On peut calculer le produit $A\times B$ des matrices de la façon suivante :

$A\times B=\begin{pmatrix}
1 \times 1+2 \times 2 - 1 \times 3 & 1 \times 4 +2 \times 0 +3 \times 3\\
1 \times 0+ 2\times (-1) +2 \times (-1) & 4 \times 0 +(-1) \times 0 +3 \times 2\\
\end{pmatrix} $ 

$A\times B=\begin{pmatrix}2& 13\\
-4 & 6\\
\end{pmatrix} $ 

Remarque :

On  peut ici effectuer le produit $B\times A$ car les dimensions des matrices s'y prêtent.

Ce n'est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.

On dira que le produit des matrices n'est pas commutatif.