L'énoncé
Les deux questions sont indépendantes
Question 1
Soit \(N = 900.... 00\).
Soit $N= A^a\times B^b \times C^c...$ une décomposition en facteurs premiers.
On admet que le nombre de diviseurs de N vaut : $D = (a+1)(b+1)(c+1)...$
Combien faut-il de zéros dans l'écriture de \(N\) pour que \(N\) ait 108 diviseurs positifs distincts ?
Soit \(p \in \mathbb{N}\), tel que \(N = 9\times 10^p\).
La décomposition en facteurs premiers de \(N\) est donc \(N = 3^2\times 5^p\times 2^p\).
Donc \(108=(2+1)\times(p+1)\times (p+1)\), soit \((p+1)^2=36\) d'où \(p=5\) car $p$ est un entier naturel.
\(N = 9\times 10^5\) donc il faut 5 zéros.
Connaissez-vous la propriété permettant de calculer le nombre de diviseurs positifs distincts d’un entier naturel ? Sinon, relisez mon commentaire au début de l'exercice.
Ainsi, \(108=3\times (p+1)\times (p+1)\) .
Question 2
Soit \(A = 2^{\alpha} \times 3^{\beta}\), \(\alpha \in \mathbb{N}\), \(\beta\in \mathbb{N}\) .
Sachant que le nombre de diviseurs de \(A^2\) est le triple du nombre de diviseurs de \(A\), quelles sont les valeurs possibles de \(A\) ?
\(A^2=2^{2\alpha} \times 3^{2\beta}\) donc \((2\alpha+1)(2\beta+1)=3(\alpha+1)(\beta+1)\)
\(\Leftrightarrow \alpha\beta-\alpha-\beta-2=0 \Leftrightarrow \alpha(\beta-1)-(\beta-1)-3=0 \Leftrightarrow (\beta-1)(\alpha-1)=3\)
Ainsi, \(\left\{ \begin{array}{left} \beta-1 = 3 \\ \alpha-1=1 \end{array}\right. \) ou \(\left\{ \begin{array}{left} \beta-1 =1 \\ \alpha-1=3 \end{array}\right. \)
Et finalement, \(\left\{ \begin{array}{left} \beta=4 \\ \alpha=2 \end{array}\right. \) ou \(\left\{ \begin{array}{left} \beta=2\\ \alpha=4 \end{array}\right. \)
Conclusion : \(A = 324\) ou \(A = 144\).
Vous ne savez-pas comment faire ? C’est la même formule que dans la question 1. Relisez une seconde fois mon commentaire au début de l'exercice !
« Le nombre de diviseurs de \(A^2\) est le triple du nombre de diviseurs de \(A\) », égalisez donc les deux ! Il ne vous reste plus qu’à résoudre l’équation.
Avez-vous pensé à factoriser par \(\alpha : \alpha(\beta-1)-(\beta-1)-3 = 0 \Leftrightarrow (\beta-1)(\alpha-1)=3\).
Vous êtes toujours bloqué ? \((\beta-1)(\alpha-1)=3\) donc les seules possibilités pour le produit sont \(3\times 1\) et \(1\times3\).