Exercice - Petit théorème de Fermat

On a : \(42 = 3 \times 2 \times 7\)    et    \(n(n^6-1)=n(n^2-1)(n^4+n^2+1)\)

Si \(n\) multiple de 7, \(n(n^6-1) \equiv 0[7]\)
Si \(n\) n'est pas multiple de 7, d'après le petit théorème de Fermat, \(n^6-1 \equiv 0[7]\)
Pour tout \(n\), 7 divise donc \(n(n^6-1)\).

Si \(n\) est multiple de 3, \( n(n^6-1) \equiv 0[3]\).
Si \(n\) nest pas multiple de 3, d'après le petit théorème de Fermat, \(( n^2-1) \equiv 0[3]\), donc \( n(n^6-1) \equiv 0[3]\).
Pour tout \(n\), 3 divise \( n(n^6-1)\).

Si \(n\) est pair, \( n(n^6-1)\) est multiple de 2.
Si \(n\) est impair, \( n^6 \equiv 1[2]\) donc \( n(n^6-1) \equiv 0[2]\).

Pour tout \(n\), 2 divise \( n(n^6-1)\).
2, 3 et 7 sont premiers entre eux, donc 42 divise \( n(n^6-1)\).

\(84=4 \times 3 \times 7\). On divise \(n\) par 4. Les restes possibles sont 0 ; 1 ; 2 et 3.

• Si \(n \equiv 0[4]\), alors 4 divise \(n(n^6-1)\) donc \(4 \times 3 \times 7\) divise \(n(n^6-1)\)
• Si \(n \equiv 1[4]\), alors \(n^6-1 \equiv 0[4]\) donc \(4 \times 3 \times 7\) divise \(n(n^6-1)\)
• Si \(n \equiv 2[4]\), alors \(n^6 \equiv 64[4]\) et \(n(n^6-1) \equiv 2 \times 63[4]\) et \(2 \times 63 = 126\) qui n'est pas multiple de 4. Donc \(n(n^6-1)\) n'est pas multiple de 4, donc il n'est pas multiple de 84.
• Si \(n \equiv 3[4]\), alors \(n^6 \equiv 729[4]\), \(n(n^6-1) \equiv 3 \times 728[4]\) soit \(2184 = 4 \times 546\) donc 4 divise \(n(n^6-1)\).
Ainsi, les solutions sont \(4k\), \(4k + 1\) et \(4k + 3\), pour \(k\) entier naturel.