Petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat

Théorème

Soit $n$ un nombre premier. Pour tout entier naturel $a$, on a :

$a^n\equiv a[n]$.

De plus, si $n$ ne divise pas $a$, alors :

$a^{n-1}\equiv 1[n]$

$a^{n-1}-1\equiv 0[n]$

Exemple :

$a$ et $b$ désignent deux entiers naturels non multiples de 53.

Démontrer que $a^{52}-b^{52}$ est divisible par 53

étape 1 : On vérifie que $n=53$ est un nombre premier.

étape 2 : On vérifie, grâce à l'énoncé, que 53 ne divise ni $a$, ni $b$.

étape 3 : On applique le corollaire du petit théorème de Fermat à $a$ puis à $b$.

$a^{52}-1\equiv 0[53]$

$b^{52}-1\equiv 0[53]$

étape 4 : La congruence est compatible avec la soustraction.

$(a^{52}-1)-(b^{52}-1)\equiv 0[53]$

$a^{52}-b^{52}\equiv 0[53]$

$a^{52}-b^{52}$ est donc divisible par 53