L'énoncé
Répondez aux questions suivantes.
Question 1
Démontrer que l'espérance d'une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est : \(E(X) = \dfrac{1}{\lambda}\)
\(E(X) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \int_0^x \lambda t e^{-\lambda t} dt\)
Pour tout \(t \geq 0\), on a \((te^{-\lambda t})' = e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t}\).
Donc : \(\displaystyle\int_0^x \lambda t e^{-\lambda t} dt = \displaystyle\int_0^x e^{-\lambda t} dt - \displaystyle\int_0^x (te^{-\lambda t})' dt\)
\(\displaystyle\int_0^x \lambda t e^{-\lambda t} dt = \left[ -\dfrac{e^{-\lambda t}}{\lambda} \right]_0^x - \left[t e^{-\lambda t} \right]_0^x\)
\(\displaystyle\int_0^x \lambda t e^{-\lambda t} dt = \dfrac{1}{\lambda} - \dfrac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\)
Ainsi en passant à la limite : \(E(X) = \dfrac{1}{\lambda}\)
\(E(X) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \int_0^x \lambda t e^{-\lambda t} dt\)
On ne sait pas intégrer directement cette formule. Essayez donc de dériver \(te^{-\lambda t}\) , vous trouverez alors la solution.
Question 2
La durée de vie d'une machine à laver avant sa première panne, exprimée en mois, suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda = 0,04\) .
Quelle est la probabilité qu'une machine ne subisse aucune panne pendant les 24 premiers mois ?
\(P(X > 24) = e^{-0,04 \times 24}\)
\(P( X > 24) = e^{-0,96} \approx 0,38\)
Il faut apprendre les deux formules suivantes : \(P(X>a) = e^{-\lambda a}\) et \(P(X < a) = 1 - e^{-\lambda a}\).
Question 3
Sachant qu'une machine n'a subi aucune panne pendant les 24 premiers mois, quelle est la probabilité qu'elle ne tombe pas en panne au cours des 4 premières années d'utilisation ?
D'après la propriété de durée de vie sans vieillissement, on a :
\(P_{(X > 24)} (X > 48) = P(X > 24)\)
Donc \(P_{(X > 24)} (X > 48) = e^{-0,04 \times 24} = e^{-0.96} \approx 0,38\)
Ainsi, \(P_{(X > 24)} (X > 48) = P(X > 48-24)\)
Soit : \(P_{(X > 24)} (X > 48) = P(X > 24)\)
Question 4
Quelle est la durée de vie moyenne, avant la première panne, d'une telle machine à laver ?
La durée de vie moyenne est définie par l'espérance de X, soit :
\(E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,04} = 25\) mois.
D’après la première question, c’est évident !