L'énoncé
Question 1
\(P(X>t) = 0,75\)
on a: \(P(X>t) = e^{-\lambda t}\)
Ainsi : \(P(X>t) = 0,75 \Leftrightarrow e^{-2t} = 0,75\)
\(P(X>t) = 0,75 \Leftrightarrow t = - \dfrac{\ln(0,75)}{2}\)
\(P(X>t) = 0,75 \Leftrightarrow t \approx 0,14\)
\(P(X>t) = e^{-\lambda t}\). C’est un résultat à connaitre !
Ensuite il suffit de résoudre l’équation !
Question 2
\(P(X < t) = 0,5\)
A savoir par coeur :\(P(X < t) = 1 - e^{-\lambda t}\)
Ainsi : \(P(X < t) = 0,5 \Leftrightarrow 1 - e^{-2t} = 0,5\)
\(P(X < t) = 0,5 \Leftrightarrow t = -\dfrac{\ln(0,5)}{2}\)
\(P(X < t) = 0,5 \Leftrightarrow t \approx 0,35\)
Ensuite il suffit de résoudre l’équation !
Question 3
\(P_{(X > t)} (X > 2t) = 0,05\)
La loi exponentielle est sans vieillissement donc \(P_{(X > t)} (X > 2t) = P(X>t)\).
Ainsi :
\(P(X>t) = 0,05 \Leftrightarrow e^{-2t} = 0,05\)
\(P(X>t) = 0,05 \Leftrightarrow t = - \dfrac{\ln(0,05)}{2}\)
\(P(X>t) = 0,05 \Leftrightarrow t \approx 1,5\)
\(P_{(X > t)} (X < t + h) = P(X>h)\). Il faut apprendre cette formule par coeur, elle vous sera très utile.
Ainsi \(P_{(X > t)} (X > 2t) = P(X>t)\).
Question 4
\(P(0 < X < t) = P(X > t)\)
\(P(0 < X < t) = P(X > t) \Leftrightarrow e^{-2t} = 1 - e^{-2t}\)
\(P(0 < X < t) = P(X > t) \Leftrightarrow e^{-2t} =\dfrac{1}{2}\)
\(P(0 < X < t) = P(X > t) \Leftrightarrow \dfrac{\ln (2)}{2} \approx 0,35\)
\(e^{-2t} = 1 - e^{-2t}\).
Pensez à utiliser la fonction logarithme népérien pour conclure…