L'énoncé
D’après une enquête effectuée dans un lycée, la durée du trajet entre le domicile des élèves et le lycée est comprise entre 30 minutes et 2 heures. On interroge au hasard les élèves sur leur temps de transport. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au temps de trajet d’un élève.
Question 1
Quelle est la loi suivie par \(X\) ? Calculer la fonction densité.
On interroge des élèves au hasard. Cela revient à choisir un nombre aléatoirement dans l'intervalle \([0,5 ; 2]\).
\(X\) suit donc une loi uniforme sur l'intervalle \([0,5 ; 2]\).
Donc la fonction densité est : \(f(x) = \dfrac{1}{2-0,5} = \dfrac{2}{3}\)
Le mot important est « au hasard ». Quelle loi utilise-t-on ?
Ce choix se modélise par la loi uniforme.
Question 2
Quelle est la probabilité que la durée du trajet soit comprise entre une heure et une heure et demi.
\(P\left(1 < X < \dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{3}{2}}\)
\(P\left(1 < X < \dfrac{3}{2}\right)= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}\)
\(P\left(1 < X < \dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{3}\)
Pour tout intervalle inclus dans \([0,5 ; 2]\) , savez-vous calculer la probabilité de \(X\) ? Il faut retenir la formule ! En cas de doute, revoyez la vidéo sur cette notion.
Question 3
Calculer la durée moyenne du trajet domicile-lycée.
La durée moyenne du trajet est l'espérance de \(X\) :
\(E(X) = \dfrac{2+0,5}{2}= 1,25\)
C'est une valeur en temps décimal. Exprimons la partie décimale en minutes, on a : \(0,25 \times 60 = 15\) min.
Les élèves ont donc en moyenne 1 heure et 15 minutes de trajet entre leur domicile et le lycée.
Savez-vous par quoi est représentée la moyenne ?
C’est l’espérance. Connaissez-vous la formule de l’espérance pour la loi uniforme ?
C’est une formule à connaître : \(E(X) = \dfrac{a+b}{2}\) .