L'énoncé
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
Question 1
Si la dérivée \(f'\) est croissante sur \(I\), alors la fonction \(f\) est convexe sur \(I\).
Vrai. Une fonction est convexe sur un intervalle \(I\) si et seulement si sa dérivée \(f'\) est croissante sur \(I\).
C'est une définition du cours.
Question 2
Si la dérivée seconde \(f''\) est positive sur \(I\) pour tout réel \(x\), alors la fonction \(f\) est concave sur \(I\).
Faux. Une fonction est concave sur un intervalle \(I\) si et seulement si sa dérivée \(f'\) est décroissante sur \(I\).
Connaissez-vous la définition d’une fonction concave ? Sinon apprennez votre cours ou regardez la vidéo.
Question 3
Si la dérivée seconde \(f''\) s'annule en \(a\), en changeant de signe, alors le point d'abscisse \(a\) de la courbe représentative de \(f\) est un point d'inflexion.
Vrai. Une fonction admet un point d'inflexion au point d'abscisse \(a\) si sa dérivée seconde \(f\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.
Savez-vous reconnaître un point d’inflexion ? Sinon, il faut apprendre le cours !