Fiche de cours
Repère ou base de l'espace
Définition :
$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ constituent une base de l'espace si et seulement si il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ c'est à dire que lorsque :
$\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}+ \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors
$\alpha = \beta = \gamma=0$.
Cela signifie aussi que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.
Utiliser un repère dans l'espace permet de trouver les coordonnées de points de l'espace, ce qui permet de résoudre certains problèmes.
Exemple 1 :
Soient ($\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) une base de l'espace,
Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{k}$,
($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$) est-elle une base ?
Soient $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que
$\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$
$\iff \alpha \overrightarrow{i}+3\alpha\overrighta