L'énoncé
Cocher la bonne réponse
Tu as obtenu le score de
Question 1
Rappeller l'inégalité de Bernoulli.
Pour tout $a \in \mathbb{R}_+$, pour tout $n \in \mathbb{N}$; $(1 + a)^n \geq 1 + na$
Pour tout $a \in \mathbb{R}_+$, pour tout $n \in \mathbb{N}$; $(1 + na)^a \geq 1 + na$
Pour tout $a \in \mathbb{R}_+$, pour tout $n \in \mathbb{N}$; $(a)^n \geq 1 + na$
On pourra revoir le cours au besoin
Question 2
Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} \left ( \dfrac{-1}{2} \right )^n + \dfrac{1}{2}$ ?
$0$
$-\infty$
$\dfrac{1}{2}$
En effet, comme $-1 < \dfrac{-1}{2} < 1$, alors
$\lim \limits_{n \to +\infty} \left ( \dfrac{-1}{2} \right )^n = 0$,
donc
$\lim \limits_{n \to +\infty} \left ( \dfrac{-1}{2} \right )^n + \dfrac{1}{2} = 0 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
On utilisera une des propriétés du cours.
Question 3
Pour quelles valeurs de $x$ la suite $\cos^n(x)$ converge-t-elle lorsque $n$ tend vers l'infini?
La suite converge pour tout $x \in \mathbb{R}$.
La suite converge pour $x \in [0; 2\pi]$.
La suite converge pour $x \in [2k\pi;2k\pi + \pi[ \cup ]2k\pi + \pi; 2(k+1)\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$
En effet on sait que pour tout réel $x$,
$-1 \leq \cos(x) \leq 1$.
Or si $q = -1$ la suite ne converge pas lorsque $n$ tend vers l'infini.
En outre, lorsque $x = (2k + 1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, $\cos(x) = -1$.
Lorsque $x = 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$, alors $\cos(x) = 1$, donc la suite $\cos^n(x)$ converge vers $1$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
Enfin, pour $x \in ]2k\pi;2k\pi + \pi[ \cup ]2k\pi + \pi; 2(k+1)\pi[$, avec $k \in \mathbb{Z}$, on a $-1 < \cos(x)< 1$, donc la suite converge lorsque $n$ tend vers l'infini.
La suite ne converge donc pas uniquement lorsque $x = (2k + 1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Elle converge donc pour $x \in [2k\pi;2k\pi + \pi[ \cup ]2k\pi + \pi; 2(k+1)\pi]$, $k \in \mathbb{Z}$, lorsque $n$ tend vers l'infini.
Quelle valeur doit valoir $q$ pour converger ?
Question 4
Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} 4500 - \left (\dfrac{6}{5} \right)^n$ ?
$4500$
$- \infty $
En effet, $ \dfrac{6}{5} > 1$, donc $\lim \limits_{n \to +\infty} \left (\dfrac{6}{5} \right)^n = + \infty$.
Ainsi, $\lim \limits_{n \to +\infty} - \left (\dfrac{6}{5} \right)^n = - \infty$.
Finalement, $\lim \limits_{n \to +\infty} 4500 - \left (\dfrac{6}{5} \right)^n = - \infty$
$+ \infty $
On appliquera une des propriétés du cours.
Question 5
Que vaut $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{4^n}{5^{n-1}}$ ?
On ne peut pas savoir.
5
0
En effet, le but est de se ramener à la propriété du cours.
Pour cela on multiplie par $\dfrac{5}{5}$.
Ainsi,$\dfrac{4^n}{5^{n-1}} = \dfrac{4^n}{5^{n-1}} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{4^n}{5^n} \times 5 = 5 \times \left (\dfrac{4}{5}\right )^n$.
Or $ -1 < \dfrac{4}{5} < 1$, donc $\lim \limits_{n \to +\infty} \left (\dfrac{4}{5}\right )^n = 0$.
Finalement, $\lim \limits_{n \to +\infty} \dfrac{4^n}{5^{n-1}} = \lim \limits_{n \to +\infty}5 \times \left (\dfrac{4}{5}\right )^n = 5 \times 0 = 0$
On se ramènera à une propriété du cours.
C'est en effet le bon énoncé, qui peut se démontrer par récurrence.